非线性方程组解的存在性判定：a∈(0,1]时无解的证明是否充分？

先来看我们要讨论的方程组：
$$ \begin{cases} xy=a\ x+y=a\ 0\leq x\leq 1\ 0\leq y\leq 1\ \end{cases} $$
其中参数$a\in[0,1]$，$x,y$是未知数。已知$a=0$时，$(x,y)=(0,0)$是明显的解；现在有人提出：当$a\in(0,1]$时方程组无解，证明方式是将方程组消元得到$y^{2-ay+a=0$，然后指出对任意$a\in(0,1]$，判别式$a}2-4a<0$，那这个证明是否充分呢？

我们一步步拆解分析：

• 消元步骤的正确性：从$x+y=a$可以推出$x=a-y$，将其代入$xy=a$，得到$(a-y)y=a$，展开后整理为$y^2 - ay + a = 0$，这一步逻辑严谨，没有问题。
• 判别式的分析：对于二次方程$y^2 - ay + a = 0$，判别式$\Delta = (-a)^2 - 4\times1\times a = a^2 - 4a = a(a-4)$。当$a\in(0,1]$时，$a>0$且$a-4<0$（毕竟$a$最大才1，远小于4），所以$\Delta = a(a-4) < 0$。
• 判别式小于0的意义：判别式小于0意味着这个二次方程在实数范围内没有任何解——连满足前两个方程的实数$y$都不存在，更不可能找到同时满足$0\leq x\leq1$、$0\leq y\leq1$限制的$x$和$y$了。

所以结论很明确：这个证明是充分的。因为它直接证明了不存在满足方程组前两个等式的实数解，自然也就不存在满足所有四个条件的解，完全能支撑“$a\in(0,1]$时方程组无解”的结论。

（补充一句：如果判别式≥0的话，我们还需要额外验证根是否落在$[0,1]$区间内，但这里判别式直接小于0，根本不需要这一步验证。）

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Star