如何求解不定积分？针对∫(x²/√(2x-x²))dx的求解咨询

你已经走对关键的第一步啦！接下来用三角换元法就能顺利解出这个积分，我一步步给你拆解：

第一步：换元简化变量 #

令 $t = x - 1$，则 $x = t + 1$，$dx = dt$，代入后原式转化为：
$$\int\frac{(t+1)^2}{\sqrt{1-t2}}dt$$

第二步：拆分积分项 #

把分子展开成 $t^2 + 2t + 1$，将积分拆成三个独立的部分，方便逐个求解：
$$\int\frac{t^2}{\sqrt{1-t2}}dt + 2\int\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}dt + \int\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt$$

第三步：逐个处理积分 #

1. 求解 $\int\frac{t^2}{\sqrt{1-t2}}dt$ #

这里用三角换元最适合：令 $t = \sin\theta$，则 $dt = \cos\theta d\theta$，$\sqrt{1-t^2} = \cos\theta$，代入后积分简化为：
$$\int\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}\cdot\cos\theta d\theta = \int\sin^2\theta d\theta$$
用降幂公式 $\sin^2\theta = \frac{1-\cos2\theta}{2}$ 转化后积分：
$$\frac{1}{2}\int(1-\cos2\theta)d\theta = \frac{1}{2}\theta - \frac{1}{4}\sin2\theta + C$$
再换回变量 $t$：$\theta = \arcsin t$，$\sin2\theta = 2t\sqrt{1-t^2}$，最终得到：
$$\frac{1}{2}\arcsin t - \frac{1}{2}t\sqrt{1-t^2} + C$$

2. 求解 $2\int\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}dt$ #

用凑微分法更高效：令 $u = 1 - t^2$，则 $du = -2t dt$，即 $t dt = -\frac{1}{2}du$，代入后：
$$2\int\frac{-\frac{1}{2}du}{\sqrt{u}} = -\int u^{-\frac{1}{2}}du = -2\sqrt{u} + C = -2\sqrt{1-t^2} + C$$

3. 求解 $\int\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt$ #

这是标准积分，直接得出结果：
$$\arcsin t + C$$

第四步：合并结果并换回原变量 #

把三个积分的结果相加，合并同类项：
$$\frac{1}{2}\arcsin t - \frac{1}{2}t\sqrt{1-t^2} - 2\sqrt{1-t^2} + \arcsin t + C$$
整理后得到：
$$\frac{3}{2}\arcsin t - \sqrt{1-t^2}\left(\frac{t}{2} + 2\right) + C$$
最后把 $t = x - 1$ 代回，同时将 $\sqrt{1-(x-1)^2}$ 还原为 $\sqrt{2x - x^2}$，就得到最终的不定积分结果：
$$\frac{3}{2}\arcsin(x-1) - \frac{x+3}{2}\sqrt{2x - x^2} + C$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者damier.godfred