一阶线性常微分方程y'+y sinx=sin2x：能否用特征值特征向量求解？

嘿，这个问题问得很关键，直接给你结论：没法直接转化为形如X'=AX的齐次线性常系数微分方程组来用特征值特征向量法求解，核心原因有两个：

1. 原方程是非齐次的，而X'=AX是齐次系统 #

你给出的方程是：
$$y'+y\sin(x) = \sin(2x)$$
这是典型的一阶线性非齐次常微分方程（标准形式是y' + P(x)y = Q(x)，这里非齐次项Q(x)=sin2x不等于0）。而X'=AX对应的是齐次线性微分方程组，没有非齐次项。

要是硬要把它写成方程组形式，只能引入辅助变量变成非齐次的变系数方程组，比如令$X = \begin{pmatrix} y \ 1 \end{pmatrix}$，那会得到：
$$X' = \begin{pmatrix} -\sin(x) & \sin(2x) \ 0 & 0 \end{pmatrix} X$$
但这是X'=A(x)X，系数矩阵A(x)是随x变化的，而且本质还是原非齐次方程的改写，根本不是常系数的X'=AX，自然没法用特征值法。

2. 原方程是变系数的，X'=AX要求常系数矩阵 #

原方程里的系数sinx是x的函数，不是常数，而X'=AX中的A必须是常系数矩阵——特征值特征向量法的核心就是依赖固定的常系数矩阵，变系数矩阵的话，特征值和特征向量都会随x变化，这套方法完全用不了。

顺便说下这个方程的正确解法 #

既然走不通特征值路线，那用积分因子法是最直接的：

• 先算积分因子：$\mu(x) = e^{\int \sin(x) dx} = e^{-\cos(x)}$
• 把方程两边都乘这个积分因子，左边会变成乘积的导数：
  $$\frac{d}{dx}\left( y \cdot e^{-\cos(x)} \right) = e^{-\cos(x)} \cdot \sin(2x)$$
• 对两边积分，换元令$u=-\cos(x)$，就能算出积分结果，最后整理得到通解：
  $$y = 2(\cos(x)+1) + C e^{\cos(x)}$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者rake