如何证明互素整除命题的逆命题不成立？非构造性证明为何不可用

咱们来一步步拆解，证明原命题的逆命题不成立。首先先明确原命题和要证的逆命题：

原命题：若$(a,b)=1$，$a\mid c$，$b\mid c$，则$ab\mid c$
逆命题（需证不成立）：若$(a,b)>1$，$a\mid c$，$b\mid c$，则$ab\mid c$

接下来用反证法（间接法）推导：

• 先假设这个逆命题成立，也就是当$(a,b)>1$，且$a\mid c$、$b\mid c$时，必然有$ab\mid c$。
• 由$a\mid c$和$b\mid c$的定义，存在正整数$k,l$，使得c = ka，c = lb。
• 因为$(a,b)=n>1$（$n$是正整数），所以我们可以把$a$、$b$分解为：a = n·a'，b = n·b'，其中$a',b'$都是正整数，而且根据最大公约数的性质，此时$(a',b')=1$。
• 将分解后的$a$、$b$代入$c$的表达式，可得：c = k·n·a'，同时c = l·n·b'。两边消去$n$，得到k·a' = l·b'。
• 由于$(a',b')=1$，结合原命题的结论，我们能推出$a'\mid l$，$b'\mid k$。不妨设l = a'·m，k = b'·m（$m$是正整数），代入$c$的表达式可得：c = m·n·a'·b'。
• 再看$ab$的表达式：ab = (n·a')·(n·b') = n²·a'·b'。现在判断$ab$是否整除$c$，就等价于判断$n²·a'·b'$是否整除$m·n·a'·b'$，约掉公共项后，就变成了判断$n$是否整除$m$。

这里关键的点来了：我们完全可以选择$m$不被$n$整除的情况，举个具体的例子就一目了然：
比如取$n=2$，$a'=1$，$b'=1$，那么$a=2$，$b=2$，$c=2$。此时$(a,b)=2>1$，$a\mid c$（$2\mid2$），$b\mid c$（$2\mid2$），但$ab=4$，显然$4\nmid2$，这直接推翻了我们之前的假设。

所以逆命题并不成立，也就是说当$(a,b)>1$，$a\mid c$，$b\mid c$时，不能必然推出$ab\mid c$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者jitender