非负级数有限部分和集合的元素构成及相关等式疑问

首先，我们直接拆解你困惑的右侧集合：${\sum {n\in F}x{n}:F\subset \mathbb{N} \text{ is finite}}$，它的每个元素其实很好理解，咱们一步步来：

• 第一步：明确F的范围：F是自然数集$\mathbb{N}$（这里默认从0开始，和级数的下标对应）的任意有限子集。注意，这里的“任意有限”不仅包括${0,1,...,k}$这种连续的前k项下标集，还包括像${0,2,5}$、${3}$、${1,4,7,9}$这种不连续、任意挑选的有限个下标组成的集合。
• 第二步：每个F对应一个和：对于每个这样的有限子集F，我们把所有下标落在F里的$x_n$加起来，得到一个非负实数（因为题目里说$x_n$是非负的）。比如：
  • 当F={0}时，对应的元素是$x_0$；
  • 当F={0,1,3}时，对应的元素是$x_0+x_1+x_3$；
  • 当F={2,5,7}时，对应的元素是$x_2+x_5+x_7$；
• 第三步：集合的全貌：这个集合就是所有上述有限子集对应的和的全体——只要你能挑出有限个下标，把对应的$x_n$加起来，结果就属于这个集合。

为什么这个集合的上确界等于非负级数的和？ #

这里补充一点逻辑帮你串起等式：

1. 我们平时说的非负级数和$S=\sum_{n=0}^\infty x_n$，其实是前k项和的极限：$S=\lim_{k\to\infty}\sum_{n=0}^k x_n$。而每个前k项和$\sum_{n=0}^k x_n$都是这个集合里的元素（因为${0,1,...,k}$是有限子集），所以S是这个集合的一个上界。
2. 反过来，对于集合里的任意一个元素（任意有限子集的和），假设F里最大的下标是m，那么这个和肯定小于等于前m项和$\sum_{n=0}^m x_n$，而前m项和又小于等于S（因为非负级数的前项和是递增的，极限是S）。所以S是这个集合的最小上界，也就是上确界。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Walquer X. Valles