证明：若x,y,√x+√y∈ℚ，则√x,√y∈ℚ的方法探究

我来一步步拆解这个证明过程，逻辑很清晰：

第一步：从已知条件推导√xy ∈ ℚ #

已知 ( x, y \in \mathbb{Q} )，且 ( r = \sqrt{x} + \sqrt{y} \in \mathbb{Q} )。
因为有理数的平方仍为有理数，所以对r平方展开：

r² = (√x + √y)² = x + y + 2√xy

由于 ( r² )、( x )、( y ) 都是有理数，把式子移项整理可得：

√xy = (r² - x - y)/2

右边是有理数的四则运算结果，必然属于ℚ，因此√xy ∈ ℚ。

第二步：用反证法证明√x、√y都属于ℚ #

我们假设结论不成立，也就是至少有一个平方根不是有理数，分两种情况讨论：

• 情况1：一个是有理数，一个是无理数
  不妨设 ( \sqrt{x} \in \mathbb{Q} )，但 ( \sqrt{y} \notin \mathbb{Q} )。
  因为有理数乘无理数的结果是无理数，所以 ( \sqrt{xy} = \sqrt{x} \times \sqrt{y} \notin \mathbb{Q} )，这和我们第一步得出的 ( \sqrt{xy} \in \mathbb{Q} ) 矛盾，假设不成立。

• 情况2：两个都是无理数
  假设 ( \sqrt{x} \notin \mathbb{Q} ) 且 ( \sqrt{y} \notin \mathbb{Q} )。
  从已知 ( r = \sqrt{x} + \sqrt{y} ) 变形得 ( \sqrt{y} = r - \sqrt{x} )，两边平方：

  y = r² + x - 2r√x
  

  移项整理得：

  √x = (r² + x - y)/(2r)
  

  右边是有理数的四则运算结果，属于ℚ，这就和假设 ( \sqrt{x} \notin \mathbb{Q} ) 矛盾，假设不成立。

综上，两种假设都不成立，所以√x、√y必然都属于ℚ。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Arjeta