凸集内部的并集：若A、B为凸集，其内部并集等于并集内部吗？

这个问题的答案是否定的——两个凸集内部的并集不一定等于它们并集的内部。咱们用几个直观的例子来把这个道理讲清楚：

一维反例 #

• 取凸集 ( A = [0,1] )（闭区间，一维凸集），凸集 ( B = [1,2] )
• ( \text{int}(A) = (0,1) )，( \text{int}(B) = (1,2) )，所以 ( \text{int}(A) \cup \text{int}(B) = (0,1) \cup (1,2) )，这个集合里不包含点1
• 而 ( A \cup B = [0,2] )，它的内部 ( \text{int}(A \cup B) = (0,2) )，显然包含点1，两者明显不相等

二维反例 #

• 取凸集 ( A = [0,1] \times [0,1] )（单位闭正方形），凸集 ( B = [1,2] \times [0,1] )（和A右边界贴合的闭正方形）
• ( \text{int}(A) = (0,1) \times (0,1) )，( \text{int}(B) = (1,2) \times (0,1) )，它们的并集是两个不连通的开正方形，点 ( (1, 0.5) ) 不在这个并集中
• ( A \cup B = [0,2] \times [0,1] )，它的内部是 ( (0,2) \times (0,1) )，这个集合包含了 ( (1, 0.5) )，和前者的差异一目了然

背后的逻辑 #

凸集的内部是开凸集，但两个开凸集的并集不一定能覆盖它们整体并集的所有内部点。当两个凸集共享一个边界（而非内部相交）时，它们的整体并集的内部会包含那些“横跨”两个凸集边界附近的点——这些点不在任何一个凸集的内部里，但属于整体并集的内部。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Emiliano Zambrano