二进制整数N模2^4的结果求解及选项解析

问题描述 #

给定以二进制形式 $b_5b_4b_3b_2b_1b_0$ 表示的整数 $N$，以及除数 $D = 2^4$，求 $N$ 模 $D$ 的二进制形式，选项如下：

• A) $b_3b_2b_1b_0$
• B) $b_4b_3b_2b_1b_0$
• C) $b_5b_4b_3b_2$
• D) 以上均不正确

解析过程 #

咱们先从二进制转十进制的核心公式出发，把整数 $N$ 展开成十进制形式：
$$
N = b_5×2^5 + b_4×2^4 + b_3×2^3 + b_2×2^2 + b_1×2^1 + b_0×2^0
$$

现在计算 $N \mod 2^4$（也就是求 $N$ 除以16后的余数），观察每一项的特点：

• $b_5×2^5 = b_5×2×2^4$，这是 $2^4$ 的整数倍，模 $2^4$ 的结果为0
• $b_4×2^4$ 本身就是 $2^4$ 的整数倍，模 $2^4$ 的结果也为0
• 剩下的项 $b_3×2^3 + b_2×2^2 + b_1×2^1 + b_0×2^0$，恰好对应二进制数 $b_3b_2b_1b_0$，这部分就是 $N$ 除以 $2^4$ 的余数

换个更直观的说法：在二进制规则里，一个数模 $2^k$ 的结果，就是这个数二进制表示的最后k位。这里 $k=4$，所以取最后4位 $b_3b_2b_1b_0$ 即可。

因此正确答案是选项A。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user530546