请求解析域间非零同态必为单同态的课本证明或提供替代证法

我目前卡在一个域论的证明问题上，想请各位帮忙解释课本给出的证明逻辑，或者提供一个更易理解的替代证法。

问题背景 #

已知 $\varphi: K \rightarrow L$ 是域 $K$ 到域 $L$ 的非零同态，需要证明 $\varphi$ 是单同态。

课本给出的证明过程 #

由于 $\ker \varphi$ 是 $K$ 的理想，由此前习题结论可知 $\ker \varphi = {0}$。因此对任意 $a,b \in K$，
$$ \varphi(a)=\varphi(b) \Rightarrow a-b \in \ker\varphi = {0} \Rightarrow a = b$$

我完全无法理解这个证明的推导逻辑，麻烦有人能拆解每一步的含义，或者提供另一种更直观的证明方法吗？非常感谢大家的时间！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Emad Zamout