不同内积下的正交性：向量空间中正交向量在其他内积下是否仍正交？

答案是不一定——向量的正交性完全依赖于所使用的内积定义，换个内积之后，原本正交的向量大概率就不再正交了。

核心原因 #

内积的本质是给向量空间赋予一套“度量规则”，它定义了向量的长度、夹角这类几何概念。正交的定义就是两个向量的内积结果为0，而不同的内积相当于用不同的逻辑计算这个“点积”，自然会改变哪些向量对的内积结果为0。

举个直观例子 #

拿二维实向量空间$\mathbb{R}^2$来说：

• 先看标准欧几里得内积：$\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle_1 = u_1v_1 + u_2v_2$。取$\mathbf{u}=(1,0)$，$\mathbf{v}=(0,1)$，它们的内积是$10 + 01 = 0$，所以在这个内积下正交。
• 现在换一个内积，用正定矩阵$A = \begin{pmatrix}1 & 1 \ 1 & 2\end{pmatrix}$定义内积：$\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle_2 = \mathbf{u}^T A \mathbf{v}$。计算这两个向量的内积：
  $\langle (1,0), (0,1) \rangle_2 = \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} = 1$
  结果显然不等于0，这时候$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$就不再正交了。

唯一例外情况 #

只有当其中一个向量是零向量$\mathbf{0}$时，不管用什么内积，都有$\langle \mathbf{0}, \mathbf{v} \rangle = 0$，所以零向量和任何向量在任何内积下都保持正交。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者hola