判断函数f(z)=g($\bar{z}$)的复可微性并证明，若可微求导数

我来帮你把这段关于柯西-黎曼方程的推导梳理清楚，顺便验证你对偏导数的计算是否正确～

先明确基础设定：

• 设$g(z) = u(x,y) + iv(x,y)$，其中$u,v$是关于实变量$x,y$的二元实值函数
• 令$f(z) = \tilde{u}(x,y) + i\tilde{v}(x,y)$，而$f(z)=g(\bar{z})$，代入$\bar{z}=x-iy$，可得：
  $$g(\bar{z}) = u(x,-y) + iv(x,-y)$$
  对应到$f(z)$的实部和虚部：
  $$\tilde{u}(x,y) = u(x,-y),\quad \tilde{v}(x,y)=v(x,-y)$$

1. 对$x$的偏导数计算（你的推导是对的） #

• $\frac{\partial \tilde{u}}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}[u(x,-y)] = u_x(x,-y)$
  这里对$x$求偏导时，$-y$视为常数，直接对$u$的第一个变量求导即可，逻辑完全没问题。

2. 对$y$的偏导数计算（补全并验证） #

这部分你没写完，我帮你补全并解释：
计算$\tilde{u}$和$\tilde{v}$对$y$的偏导数时，需要用到链式法则：把$u(x,-y)$看作$u$关于第二个变量$t=-y$的复合函数，所以：

• $\frac{\partial \tilde{u}}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial t} \cdot \frac{dt}{dy} = u_y(x,-y) \cdot (-1) = -u_y(x,-y)$
• 同理，$\tilde{v}(x,y)=v(x,-y)$对$y$的偏导数：
  $$\frac{\partial \tilde{v}}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial t} \cdot \frac{dt}{dy} = v_y(x,-y) \cdot (-1) = -v_y(x,-y)$$

3. 代入柯西-黎曼方程判断复可微性 #

$f(z)$复可微的充要条件是满足柯西-黎曼方程：
$$\frac{\partial \tilde{u}}{\partial x} = \frac{\partial \tilde{v}}{\partial y},\quad \frac{\partial \tilde{u}}{\partial y} = -\frac{\partial \tilde{v}}{\partial x}$$

把我们算出的偏导数代入：

1. 第一个方程：$u_x(x,-y) = -v_y(x,-y)$
2. 第二个方程：$-u_y(x,-y) = -\frac{\partial v}{\partial x}(x,-y)$，化简得$u_y(x,-y) = v_x(x,-y)$

对比原函数$g(z)$的柯西-黎曼方程（若$g(z)$复可微，满足$u_x=v_y, u_y=-v_x$），可以发现$f(z)=g(\bar{z})$的可微条件是$g(z)$满足共轭形式的柯西-黎曼方程，只有当$g(z)$为常数函数时，$f(z)$才会在全平面复可微（具体还要结合$u,v$的连续性判断）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Nixie777