3×2矩阵变换的输出是什么？是否始终为三维空间中的平面？

没问题，我来给你理清楚这个问题：

首先直接给结论：是的，当这个3×2矩阵的列空间维数为2时，它把输入的2维平面（整个ℝ²）变换后，输出必然是三维空间ℝ³中的一个平面（准确来说是过原点的2维线性子空间）。

为啥是这样呢？咱们拆开来理解：

• 3×2矩阵的每一列都是ℝ³中的三维向量，它的列空间就是这些列向量所有线性组合构成的集合。题目里明确列空间维数是2，那这个集合就是ℝ³里的一个2维子空间——也就是咱们说的平面（因为3维空间里，2维子空间就是过原点的平面）。
• 当你输入整个2维平面（也就是所有2维向量）时，任意输入向量v = [a; b]，经过矩阵变换后的结果Mv，本质上就是矩阵M的第一列乘以a、第二列乘以b之后的和，也就是列向量的线性组合。所以所有变换后的输出，刚好就是M的列空间。
• 简单说，输入的2维平面里的每个点，都对应到列空间这个3维平面里的一个点，而且整个列空间都会被覆盖到，因为a和b可以取任意实数，能生成所有列的线性组合。

要是你还有细节疑问，比如非原点的平面输入会咋样，那输出就是这个3维平面上的一个平移后的点集，但如果输入是整个2维空间，输出就是完整的列空间平面。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ahmad