有限生成无限群中是否必存在无限阶元素？

嘿，这个问题是群论里挺经典的一个问题，答案是否定的——存在无限的有限生成群，其中每一个元素的阶都是有限的（这类群被称为无限挠群）。下面给你举两个最具代表性的例子：

• Grigorchuk群：这是1980年代由Grigorchuk构造的标志性例子。它只需要4个生成元就能生成，是无限群，但每个元素的阶都是2的幂（显然都是有限阶）。它属于自动机群的范畴，在群论和计算机科学的交叉领域有不少有趣的性质。
• 无限Burnside群：这个例子和著名的Burnside问题直接相关。Burnside问题的核心是：给定生成元数量$n$和正整数$m$，所有由$n$个生成元生成、且每个元素的阶都整除$m$的群，是不是一定有限？后来证明，当$m$足够大时（比如$n=2$，$m$是足够大的奇数），存在无限的2生成群，其中每个元素的阶都整除$m$。这类群完美符合“有限生成、无限阶、所有元素有限阶”的条件。

简单来说，有限生成的无限群并不一定需要依赖无限阶元素来支撑它的无限性，这类特殊的挠群就是最好的反例。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Abdul Gaffar Khan