求解使比例控制反馈系统不稳定的增益K值

咱们来一步步拆解怎么找到让比例控制反馈系统动态特性不稳定的实数增益K值：

1. 闭环传递函数推导 #

已知开环传递函数为：
$$G(s) = \frac{num(s)}{den(s)}$$
当采用比例控制器（P-controller）构建单位反馈控制系统时，闭环传递函数可以通过反馈系统的基本公式推导得到：
$$
G_f(s) = \frac{KG(s)}{1 + KG(s)} = \frac{\frac{Knum(s)}{den(s)}}{\frac{Knum(s)+den(s)}{den(s)}} = \frac{Knum(s)}{Knum(s)+den(s)}
$$

2. 不稳定增益K的核心求解逻辑 #

系统动态特性不稳定的本质是闭环极点位于s平面的右半部分（实部大于0），而闭环极点就是特征方程的根。对于这个系统，特征方程由闭环传递函数的分母等于0得到：
$$Knum(s) + den(s) = 0$$

具体求解步骤 #

• 首先把特征方程展开成标准的s多项式形式，此时多项式的系数会包含变量K
• 最实用的分析方法是劳斯-赫尔维茨判据（Routh-Hurwitz Criterion）：不需要直接求解高阶多项式的根，通过构造劳斯表，检查表中第一列元素的符号变化，就能快速确定使系统不稳定的K的取值范围
• 如果要直接求解极点，也可以针对展开后的多项式，求解当根的实部大于0时对应的K值（不过高阶多项式的解析解很难求，劳斯判据会更高效）

举个简单例子 #

假设开环传递函数为 $G(s) = \frac{1}{s^2 + 2s + 3}$，那么特征方程为：
$$K \cdot 1 + s^2 + 2s + 3 = 0 \implies s^2 + 2s + (3 + K) = 0$$
用劳斯判据构造劳斯表：

劳斯表第一列的元素为1、2、3+K，当第一列出现负数时系统不稳定，也就是 $3 + K < 0$，即 $K < -3$。这时候闭环极点的实部为正，系统会出现发散的响应。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者euraad