如何证明线性变换为恒等映射？兼询投影在其值域上的恒等性证明

一、恒等映射的定义是否正确？ #

你的定义完全准确，不过可以补充一点细节让表述更严谨：恒等映射本质是集合到自身的自映射，完整的标准表述可以是：

设$X$是任意集合，若映射$P: X \to X$满足对所有$x \in X$，都有$P(x) = x$，则$P$称为$X$上的恒等映射，通常记作$\text{id}_X$。

你给出的定义已经抓住了核心——对定义域内所有元素的作用结果等于元素本身，这就是恒等映射的本质，所以你的表述完全没问题。

二、证明投影变换在$\operatorname{range}(P)$上的限制是恒等映射 #

首先明确投影变换的核心性质：在线性空间的语境下，投影$P: V \to V$是满足幂等性的线性映射，也就是对任意$v \in V$，都有$P(P(v)) = P(v)$（即$P \circ P = P$）。

接下来我们一步步完成证明：

• 任取$y \in \operatorname{range}(P)$，根据值域的定义，必然存在某个$v \in V$，使得$y = P(v)$。
• 对这个$y$计算$P(y)$：利用投影的幂等性，$P(y) = P(P(v)) = P(v) = y$。
• 这就意味着，对$\operatorname{range}(P)$中的每一个元素$y$，限制映射$P|_{\operatorname{range}(P)}$作用在$y$上的结果都是$y$，完全符合恒等映射的定义。

额外补充：这里的限制映射的到达域必须是$\operatorname{range}(P)$而非原空间$V$，但因为投影的值域是它的“不动子空间”——$P$作用在值域内的元素上结果仍在值域里，所以这个限制映射确实是$\operatorname{range}(P)$到自身的自映射，满足恒等映射的前提条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Edwards