二次丢番图方程x²+y²=2015的非负整数解数量及高效解法咨询

嘿，你通过遍历得到的结论完全正确——这个方程确实没有非负整数解！而且不用挨个试所有组合，用数论里的平方数模4的性质就能快速推导出来，效率高得多，尤其面对更大的数字时优势会更明显：

• 先明确一个基础结论：任何整数的平方，模4的结果只能是0或者1

  • 如果是偶数（设为$2k$），平方后是$4k^2$，除以4余0；
  • 如果是奇数（设为$2k+1$），平方后是$4k^2+4k+1$，除以4余1。

• 接下来看方程右边的2015：计算它模4的结果，$2015 = 4×503 + 3$，也就是$2015 ≡ 3 \pmod{4}$。

• 再看方程左边$x^2 + y^2$的模4可能结果：

  • 两个平方数的和，只能是$0+0=0$、$0+1=1$、$1+1=2$这三种情况，不可能得到3。

左边的模4结果永远无法和右边的3匹配，所以这个方程不存在非负整数解，对应选项就是「没有」。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Machinist