如何用反证法证明：若n为正奇数，则n²≡1(mod 8)

我已经知道这个命题有直接证法，但最近尝试用反证法来证明它，过程中好像卡壳了，想请大家帮忙看看问题出在哪：

我的反证推导步骤如下：

• 先假设命题不成立，即 n²≢1(mod 8)
• 由此推出 8∤(n²-1)，也就是 8∤(n+1)(n-1)
• 这里我推导得出结论：「8∤(n+1) 或 8∤(n-1)」
• 因为n是正奇数，我设 n=2k+1（k为整数），代入后得到 8∤(2k+2) 或 8∤2k

现在我不确定这个推导是否正确，也不知道这能不能构成矛盾。回头检查的时候总觉得哪里推导错了，盼大家帮忙解答！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jake