有限群与子群中元素中心化子的大小不等式是否恒成立？

咱们先明确符号和问题背景：

• 设$G$是有限群，$H$是$G$的真子群（$H<G$），任取$h \in H$
• 记$C_H(h)={x\in H: xh=hx}$：这是$h$在子群$H$中的中心化子
• 记$C_G(h)={y\in G: yh=hy}$：这是$h$在整个群$G$中的中心化子

现在想确认的核心问题是：下面这个不等式是不是对所有满足条件的$G$、$H$、$h$都成立？
$$ \frac{|C_G(h)|}{|C_H(h)|} \le \frac{|G|}{|H|} $$

我们已经验证过一些具体例子，比如当$G$是对称群$S_n$、$H$是直积子群$S_k \times S_{n-k}$时，这个不等式确实成立。所以很好奇，它是不是具有普遍性？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Igor Pak