求证gcd(a,b)·lcm(a,b)=|ab|：我的证法可行吗？有无更简证法？

当然可以用「当且仅当gcd(a,b)=1时，lcm(a,b)=|ab|」这个结论来推导，不过得先做一步关键的分解，我给你捋清楚具体步骤：

• 设 ( d = \gcd(a,b) )，我们可以把 ( a ) 和 ( b ) 拆写成：( a = d \cdot a' )，( b = d \cdot b' )，此时必然有 ( \gcd(a',b') = 1 )——因为我们已经提取了所有公因子，剩下的部分自然互素。
• 根据你提到的结论，既然 ( a' ) 和 ( b' ) 互素，那么 ( \text{lcm}(a',b') = |a'b'| )。
• 而 ( \text{lcm}(a,b) ) 其实等于 ( d \cdot \text{lcm}(a',b') )（因为 ( a ) 和 ( b ) 的公倍数必须是 ( d ) 的倍数，同时也要是 ( a' ) 和 ( b' ) 的公倍数），也就是 ( m = d \cdot |a'b'| )。
• 现在计算 ( d \cdot m )：代入 ( m ) 的表达式可得 ( d \cdot m = d \cdot (d \cdot |a'b'|) = d^2 |a'b'| )，而 ( |ab| = |d a' \cdot d b'| = d^2 |a'b'| )，所以 ( d \cdot m = |ab| )，推导完成。

更直接的证明方法：素因子分解法 #

这个方法不需要依赖互素时的lcm结论，直接利用素因子分解的性质，步骤更直观：

• 把 ( a ) 和 ( b ) 分解为素数幂的形式（忽略正负号，因为最后取绝对值不影响结果）：
  ( a = \prod p_i^{e_i} )，( b = \prod p_i^{f_i} )，其中 ( p_i ) 是素数，( e_i, f_i ) 是非负整数。
• 根据gcd和lcm的定义：
  ( \gcd(a,b) = \prod p_i^{\min(e_i, f_i)} )，( \text{lcm}(a,b) = \prod p_i^{\max(e_i, f_i)} )。
• 计算 ( d \cdot m )：( \prod p_i^{\min(e_i,f_i)} \cdot \prod p_i^{\max(e_i,f_i)} = \prod p_i^{\min(e_i,f_i) + \max(e_i,f_i)} )。
• 注意到对任意两个非负整数 ( e_i ) 和 ( f_i )，( \min(e_i,f_i) + \max(e_i,f_i) = e_i + f_i )，所以上式等于 ( \prod p_i^{e_i + f_i} )。
• 而 ( |ab| = |\prod p_i^{e_i} \cdot \prod p_i^{f_i}| = \prod p_i^{e_i + f_i} )，因此 ( d \cdot m = |ab| )，直接得证。

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