实矩阵共轭类的Frobenius范数下确界：表达式与可达性探究

咱们先明确问题：给定$d \times d$的实矩阵$A$，定义
$$ F(A):=\inf_{M \in \text{GL}(d, \mathbb{R})} |MAM^{-1}|2 $$
这里$| \cdot |$是标准Frobenius范数（即矩阵元素平方和的平方根）。我们需要解决两个核心问题：这个下确界是否总能取到？以及$F(A)$有没有关于$A$的简洁表达式？

关键铺垫：迹的不变性与柯西-施瓦茨不等式 #

首先得提一个核心性质：矩阵的迹是相似变换下的不变量——也就是说，对任意可逆实矩阵$M$，$\operatorname{tr}(MAM^{-1}) = \operatorname{tr}(A)$。而柯西-施瓦茨不等式告诉我们：
$$( \operatorname{tr}(B))^2 \le d |B|^2$$
对任意$d \times d$实矩阵$B$成立，等号当且仅当$B$是单位矩阵的数乘（即$B = \lambda I_d$，$\lambda \in \mathbb{R}$）。这个不等式给了我们范数的一个下界，但具体到相似变换的下确界，还需要结合矩阵的Jordan分解分析。

1. $F(A)$的简洁表达式 #

我们可以利用实矩阵的实Jordan标准形来推导：
实矩阵$A$在实相似变换下可以分解为两类Jordan块的直和：

• 实特征值对应的Jordan块：形如$J_m(\lambda) = \begin{pmatrix}\lambda & 1 & 0 & ... \ 0 & \lambda & 1 & ... \ ... & ... & ... & ... \ 0 & 0 & 0 & \lambda\end{pmatrix}$，其中$\lambda \in \mathbb{R}$，$m$是块的阶数。
• 复特征值对应的实Jordan块：形如$\begin{pmatrix}\alpha & \beta \ -\beta & \alpha\end{pmatrix}$，其中$\alpha \pm i\beta$是一对共轭复特征值（$\beta \neq 0$）。

对这两类块分别分析相似变换下的范数下确界：

• 对于实Jordan块$J_m(\lambda)$：构造可逆矩阵$M = \operatorname{diag}(1, t, t^2, ..., t^{m-1})$（$t>0$），可得$M J_m(\lambda) M^{{-1}$的非对角元都是$t$，其范数平方为$m\lambda}2 + (m-1)t^2$。当$t \to 0$时，这个值趋向于$m\lambda^2$，这就是该块的下确界。
• 对于复特征值对应的2阶实块：实相似变换无法改变特征值的虚部$\beta$的绝对值，因此任何相似变换后的块的范数平方都不会小于原块的范数平方$2\alpha^2 + 2\beta^2$，且原块本身就达到这个值。

将所有块的下确界相加，就能得到$F(A)$的简洁表达式：
$$F(A) = \sum_{i=1}^d |\lambda_i|^2$$
其中$\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_d$是$A$的所有复特征值（计代数重数）——实特征值的模平方就是自身平方，共轭复特征值的模平方均为$\alpha^2 + \beta^2$。

2. 下确界是否总能取到？ #

答案是不一定，分两种情况：

• 当$A$的所有Jordan块都是1阶的（即$A$在复数域上可对角化）：
  • 若$A$特征值全为实数，$A$实相似于对角矩阵，此时下确界$\sum \lambda_i^2$可以直接取到；
  • 若$A$有非实特征值，对应的2阶实块的范数平方已经是最小值，也能取到。
• 当$A$有阶数大于1的实Jordan块（即$A$不可对角化）：
  这类块的下确界只能无限接近，无法取到。因为任何实相似变换后的块都保留非零的非对角元（否则矩阵会变成对角矩阵，而不可对角化的矩阵无法相似于对角矩阵），因此范数平方始终大于下确界。

举个直观例子：幂零矩阵$A = \begin{pmatrix}0 & 1 \ 0 & 0\end{pmatrix}$，其特征值都是0，$F(A)=0$，但任何实相似变换后的矩阵都是形如$\begin{pmatrix}0 & c \ 0 & 0\end{pmatrix}$（$c \neq 0$），范数平方为$c^2 > 0$，无法达到0。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Asaf Shachar