几何分布随机变量r阶下降阶乘期望求解及解法疑问

嘿，我来给你换个清爽的思路推导这个几何分布的阶乘期望，完全避开那些让人摸不着头脑的U变量～

首先先对齐一下定义：咱们这里先明确两种常见的几何分布定义，避免参数混淆：

• 定义1：$X$是首次成功时的试验次数，取值1,2,3,...，成功概率为$p$，失败概率$q=1-p$，期望$E[X]=1/p$
• 定义2：$X$是首次成功前的失败次数，取值0,1,2,...，成功概率为$p$，失败概率$q=1-p$，期望$E[X]=q/p$

你给出的结论$E[X(X-1)...(X-r+1)]=\frac{r!p^r}{(1-p)r}$对应的是定义2（或者把$p$当成失败概率的定义1），不过核心推导逻辑是通用的，下面用两种易懂的方法来解释：

我们要算的是r阶阶乘矩——也就是从$X$个元素里选$r$个的排列数的期望，记为$E[P(X,r)]$。

按期望定义直接写求和式（以定义2为例，$X$取0,1,2,...，$P(X=k)=q^k p$，这里$q=1-p$是成功概率，对应你结论里的$1-p$）：
$$
E[X(X-1)...(X-r+1)] = \sum_{k=r}^{\infty} k(k-1)...(k-r+1) \cdot q^k p
$$
（当$k<r$时，乘积项是0，所以直接从$k=r$开始求和）

做个变量替换：令$m=k-r$，则$k=m+r$，$m$从0到∞，代入后：
$$
= \sum_{m=0}^{\infty} (m+r)(m+r-1)...(m+1) \cdot q^{m+r} p
$$
把常数项提出来：
$$
= q^r p \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(m+r)!}{m!} q^m
$$
这里用到了组合数性质：$(m+r)(m+r-1)...(m+1) = r! \binom{m+r}{r}$，也就是排列数等于组合数乘以$r!$。

接下来用负二项式级数的求和公式：
$$
\sum_{m=0}^{\infty} \binom{m+r}{r} q^m = \frac{1}{(1-q)^{r+1}} = \frac{1}{p^{r+1}}
$$
把这个代入回去：
$$
= q^r p \cdot r! \cdot \frac{1}{p^{r+1}} = \frac{r! q^r}{pr}
$$
如果你把这里的$q$换成$1-p$，$p$换成$p$（也就是把失败概率设为$p$），就得到了你给出的结论$\frac{r!p^r}{(1-p)r}$，完美对齐！

几何分布的灵魂就是无记忆性——如果前$i$次都没成功，那接下来的试验就和从头开始一模一样，完全不受之前的影响。我们用这个性质来递推阶乘矩：

记$a_r = E[X(X-1)...(X-r+1)]$，先找递推关系：

1. 当$X=0$时（定义2里的情况），乘积项是0，所以这部分对期望没有贡献；
2. 当$X>0$时，说明第一次试验失败了，接下来的失败次数$Y$和$X$同分布（无记忆性），也就是$X=1+Y$。

把$X=1+Y$代入阶乘矩的表达式：
$$
X(X-1)...(X-r+1) = (1+Y)Y(Y-1)...(Y-r+2)
$$
把这个乘积展开（关键一步！）：
$$
= Y(Y-1)...(Y-r+1) + r \cdot Y(Y-1)...(Y-r+2)
$$
（这里是把$1+Y$拆成$(Y-r+1)+r$，乘进去就得到这两项）

对两边取期望，再乘以$P(X>0)=q$（第一次失败的概率）：
$$
a_r = q \cdot \left( E[Y(Y-1)...(Y-r+1)] + r \cdot E[Y(Y-1)...(Y-r+2)] \right)
$$
因为$Y$和$X$同分布，所以这两个期望就是$a_r$和$a_{r-1}$，代入后：
$$
a_r = q(a_r + r a_{r-1})
$$
整理一下递推式：
$$
a_r(1-q) = q r a_{r-1} \implies a_r = \frac{q r}{p} a_{r-1}
$$

现在用初始条件递推：

• $a_1 = E[X] = \frac{q}{p}$（定义2的期望）
• $a_2 = \frac{q \cdot 2}{p} \cdot a_1 = \frac{2 q^2}{p2}$
• $a_3 = \frac{q \cdot 3}{p} \cdot a_2 = \frac{6 q^3}{p3} = \frac{3! q^3}{p3}$
• ...
• 以此类推，$a_r = \frac{r! q^r}{pr}$

同样，把$q$换成$1-p$，$p$换成$p$，就得到了你给出的结论。

这样是不是就清晰多了？完全不用那些莫名其妙的中间变量，用最基础的定义和几何分布的核心性质就能搞定～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者You_Don't_Know_Who