仅以双条件为唯一联结词的重言式判定定理证明方法求助

这个定理的证明可以分成必要性（重言式→每个命题变元出现偶数次）和充分性（每个命题变元出现偶数次→是重言式）两部分，结合双条件联结词的代数性质来推导会很清晰，咱们一步步来：

先铺垫双条件的关键性质 #

咱们可以把逻辑真值对应到模2的整数：令T=1，F=0，那么双条件联结词↔对应的运算可以表示为：
v(A↔B) = v(A) + v(B) + 1 mod 2
你可以自己用真值表验证这个等式：比如T↔T就是1+1+1=3≡1 mod2=T，T↔F是1+0+1=2≡0 mod2=F，完全符合双条件的真值结果。

另外，对于任意仅含↔的合式公式A，假设它包含k个联结词（比如p↔q有1个联结词，p↔q↔r有2个），那么A可以拆解为k+1个原子命题（允许重复）用↔联结，此时A的真值可以展开为：
v(A) = (sum_{p} c(A,p)*v(p)) + k mod 2
这里c(A,p)是命题变元p在A中出现的次数，sum是对所有命题变元求和，模2运算保证结果是0或1（对应F或T）。这个展开式用数学归纳法很容易证明：

• 基例：A是单个命题变元（k=0），v(A)=v(p)=1*v(p)+0 mod2，显然成立。
• 归纳步：假设A=B↔C，B有k1个联结词，C有k2个联结词，那么k=k1+k2+1。根据归纳假设，v(B)=sum_B +k1 mod2，v(C)=sum_C +k2 mod2，代入双条件的运算公式得：v(A)=(sum_B +k1)+(sum_C +k2)+1 mod2 = (sum_B+sum_C)+(k1+k2+1) mod2 = sum_A +k mod2，完美成立。

必要性证明：如果A是重言式，则每个命题变元出现偶数次 #

重言式的定义是不管怎么赋值，A的真值都是T。代入上面的展开式，意味着：
sum_{p} c(A,p)*v(p) + k ≡1 mod2 对所有赋值v都成立
整理一下就是：
sum_{p} c(A,p)*v(p) ≡ (1 -k) mod2 对所有赋值v都成立

现在假设存在某个命题变元p，它的出现次数c(A,p)是奇数：

• 取赋值v1：让v1(p)=T（也就是1），其他所有变元都赋值为F（0），此时sum=1*1 +0=1，代入得1 ≡(1 -k) mod2，也就是k≡0 mod2（k是偶数）。
• 再取赋值v2：让v2(p)=F（0），其他变元还是F，此时sum=0，代入得0≡(1 -k) mod2，也就是k≡1 mod2（k是奇数）。

这两个结论明显矛盾，说明咱们的假设不成立——所有命题变元的出现次数必须是偶数。

充分性证明：如果每个命题变元出现偶数次，则A是重言式 #

已知所有c(A,p)都是偶数，那么sum_{p} c(A,p)*v(p)就是若干个偶数乘以v(p)的和，模2之后结果肯定是0（因为偶数模2等于0，0乘任何数都是0）。

此时A的真值展开式就简化成：
v(A)=0 +k mod2
而k是联结词的个数，等于总原子命题数减1。因为每个c(A,p)是偶数，总原子数是sum c(A,p)，自然也是偶数，所以k=偶数-1=奇数，也就是k≡1 mod2。

这样一来，v(A)=0+1=1 mod2=T，不管怎么赋值都是T，所以A肯定是重言式。

这样就完成了双向的证明，核心是把双条件转化为模2运算，利用线性函数的性质推导矛盾或者验证恒真。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user51309