如何判定0<n<1的有限有理数的b进制解释无穷和的有理性

首先得先明确几个关键定义，避免理解偏差：
我们说的有限有理数n（0<n<1），指的是它的十进制表示是有限位的，比如例子里的0.1234，就是1234/10000=617/5000；而n_b在这里的意思是，把n的十进制数字串直接当成b进制的小数来计算数值（比如0.1234_b就等于1/b + 2/b² + 3/b³ +4/b⁴），但要注意：只有当b大于数字串里的最大数字时，这个b进制表示才是合法的（比如b=2时，数字3、4在二进制里是无效的，所以这类b的项无意义，求和要从b=max(digits)+1开始）。

核心分析步骤 #

我们把求和式展开，就能清晰看到规律：
假设n的十进制是0.d₁d₂...d_k（d₁到d_k是0-9的数字，至少有一个非零），M是这些数字里的最大值，那么求和式：
$$
S = \sum_{b=M+1}^\infty n_b = d₁\sum_{b=M+1}^\infty \frac{1}{b} + d₂\sum_{b=M+1}^\infty \frac{1}{b²} + ... + d_k\sum_{b=M+1}^\infty \frac{1}{b^k}
$$

现在逐个分析每一项的性质：

• 如果第一个非零数字是d₁（也就是n的十分位非零）：
  第一项是d₁ × 调和级数尾项，而调和级数$\sum_{b=1}^\infty \frac{1}{b}$是发散到无穷的，它的尾项$\sum_{b=M+1}^\infty \frac{1}{b}$自然也发散。这时候整个求和式S会趋向于无穷大，不存在有限值，也就谈不上有理数还是无理数了。

• 如果第一个非零数字是d_m（m≥2，也就是n的前m-1位都是0）：
  这时候前m-1项的求和都是0，我们从第m项开始看：
  $\sum_{b=M+1}^\infty \frac{1}{b^{m}$等于黎曼ζ函数$\zeta(m)$减去前M项的和$\sum_{b=1}}M \frac{1}{b^m}$。已知：

  • $\zeta(2)=\pi²/6$（无理数），$\zeta(3)$是Apéry常数（已证明无理），$\zeta(4)=\pi⁴/90$（无理），且目前已证明所有$\zeta(m)$（m≥2）都是无理数；
  • $\sum_{b=1}^M \frac{1}{b^m}$是有限个有理数的和，结果还是有理数。
    所以$\sum_{b=M+1}^\infty \frac{1}{b^m}$就是无理数 - 有理数 = 无理数，再乘以非零的d_m，结果还是无理数。
    后面的项（m'>m）都是正的求和项，不管它们本身是有理数还是无理数，加上前面的无理数之后，整个S的结果必然是无理数（正的无理数加任何正数都不可能变成有理数）。

回到你的例子：$0.1234_2 + 0.1234_3 + ...$ #

这个例子里的数字串是0.1234，最大数字是4，所以合法的求和从b=5开始。展开后第一项是$1×\sum_{b=5}^\infty \frac{1}{b}$，这是发散的调和级数尾项，所以整个求和式会趋向于无穷大，不存在有限的和，也就无法讨论它的有理性。

总结判定流程 #

1. 写出n的十进制有限表示，找到第一个非零数字的位置m（比如0.00123的第一个非零数字在千分位，m=3）；
2. 如果m=1：求和式发散，无有限值；
3. 如果m≥2：求和式收敛，且结果是无理数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Klangen