变量替换下散度自由性的保持：性质说明及实例推导

我最近研究了散度自由向量场在变量替换下的一个重要性质，整理推导和验证过程如下：

首先定义基础变量：设$\boldsymbol{x}=(x_1, \cdots, x_n)$，$d\boldsymbol{x}$表示$\mathbb{R}^n$上的勒贝格测度，我们做变量替换$\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{w}$（假设$\boldsymbol{h}$是光滑微分同胚）。

核心结论 #

如果向量场$\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})$是散度自由的，也就是满足：
$$\text{div}(\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})) = 0$$
那么经过变量替换得到的向量场$\tilde{\boldsymbol{v}} = d\boldsymbol{h}(\boldsymbol{v})$（即$\boldsymbol{v}$的前推向量场），再乘以测度变换$d\boldsymbol{x} \mapsto \rho d\boldsymbol{w}$中的密度$\rho$（满足$d\boldsymbol{x} = \rho d\boldsymbol{w}$）后，新的向量场依然是散度自由的：
$$\text{div}(\rho\tilde{\boldsymbol{v}}(\boldsymbol{w})) = 0$$

实例验证：笛卡尔→极坐标变换 #

我拿笛卡尔坐标系下的简单例子做了验证，步骤如下：

1. 原向量场的散度自由性
   取笛卡尔坐标系中的向量场$\boldsymbol{v}=(x, -y)$，计算它的散度：
   $$\text{div}(\boldsymbol{v}) = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial (-y)}{\partial y} = 1 - 1 = 0$$
   显然满足散度自由的条件。

2. 变量替换与前推向量场
   做极坐标变换$\boldsymbol{h}(x,y) = (r, \theta)$，其中$r = \sqrt{x^2+y2}$，$\theta = \arctan(y/x)$（限定$x>0$的区域避免歧义）。
   首先求$\boldsymbol{h}$的雅可比矩阵$d\boldsymbol{h}$：
   $$d\boldsymbol{h} = \begin{pmatrix}
   \frac{\partial r}{\partial x} & \frac{\partial r}{\partial y} \
   \frac{\partial \theta}{\partial x} & \frac{\partial \theta}{\partial y}
   \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
   \frac{x}{r} & \frac{y}{r} \
   -\frac{y}{r^2} & \frac{x}{r^2}
   \end{pmatrix}$$
   计算前推向量场$\tilde{\boldsymbol{v}} = d\boldsymbol{h}(\boldsymbol{v})$：
   $$\tilde{\boldsymbol{v}} = \begin{pmatrix}
   \frac{x}{r} \cdot x + \frac{y}{r} \cdot (-y) \
   -\frac{y}{r^2} \cdot x + \frac{x}{r^2} \cdot (-y)
   \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
   \frac{x^2 - y^2}{r} \
   -\frac{2xy}{r^2}
   \end{pmatrix}$$

3. 测度变换的密度
   极坐标下的测度变换公式为$dxdy = r dr d\theta$，因此这里的密度$\rho = r$。

4. 理论验证结论成立
   从散度的变量替换公式出发：如果$d\boldsymbol{x} = \rho d\boldsymbol{w}$，那么$\text{div}{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{v}) = \frac{1}{\rho}\text{div}{\boldsymbol{w}}(\rho \tilde{\boldsymbol{v}})$。因为我们已知$\text{div}{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{v})=0$，所以自然可以推出$\text{div}{\boldsymbol{w}}(\rho \tilde{\boldsymbol{v}})=0$，直接验证了结论的正确性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Xiao