求证：l²上线性有界算子T的T*T/3与TT*/3为正交投影

好的，我来一步步帮你完成这个证明～首先得明确：一个有界线性算子P是正交投影，当且仅当它满足两个核心条件：自伴性（(P = P^{*)）和幂等性（(P}2 = P)）。我们先找出算子(T)的伴随算子(T^{*)，再分别验证(\frac{T}T}{3})和(\frac{TT^}{3})符合这两个条件。

在(l^2)空间里，任意两个向量(x=(x_1,x_2,x_3,\dots))和(y=(y_1,y_2,y_3,\dots))的内积定义是：
[
\langle x,y \rangle = \sum_{n=1}^\infty x_n \overline{y_n}
]
伴随算子的定义是：对所有(x,y\in l^2)，都有(\langle Tx, y \rangle = \langle x, T^y \rangle)。我们就从这个等式出发找(T^)。

先算左边的(\langle Tx, y \rangle)：
根据(T)的定义，(Tx)是把每个(x_k)重复三次，也就是(Tx=(x_1,x_1,x_1,x_2,x_2,x_2,x_3,x_3,x_3,\dots))，所以：
[
\langle Tx,y \rangle = x_1\overline{y_1} + x_1\overline{y_2} + x_1\overline{y_3} + x_2\overline{y_4} + x_2\overline{y_5} + x_2\overline{y_6} + \dots
]
把相同(x_k)的项合并，就变成：
[
\langle Tx,y \rangle = \sum_{k=1}^\infty x_k \overline{y_{3k-2} + y_{3k-1} + y_{3k}}
]
再看右边的(\langle x, T^y \rangle = \sum_{k=1}^\infty x_k \overline{(T^{*y)_k})，对比左右两边的求和项，就能直接写出(T}y)的分量：
[
T^(y_1,y_2,y_3,y_4,y_5,y_6,\dots) = (y_1+y_2+y_3,\ y_4+y_5+y_6,\ y_7+y_8+y_9,\ \dots)
]
简单说就是，(T^)会把(y)的每三个连续分量加起来，作为结果里的一个分量。

我们分别验证自伴性和幂等性：

• 自伴性：
  利用伴随算子的运算性质((AB)^* = B^*A)，以及((T^*) = T)，可得：
  [
  \left( \frac{T^T}{3} \right)^ = \frac{(T^*T)}{3} = \frac{T^ (T^*)*}{3} = \frac{T^*T}{3}
  ]
  显然满足自伴性。
• 幂等性：
  先算(T^{*T)对任意向量(x)的作用：(Tx=(x_1,x_1,x_1,x_2,x_2,x_2,\dots))，把这个代入(T})的定义，会发现(T^)把前三个(x_1)加起来得到(3x_1)，接下来三个(x_2)加起来得到(3x_2)，以此类推：
  [
  T^*(Tx) = (x_1+x_1+x_1,\ x_2+x_2+x_2,\ \dots) = (3x_1, 3x_2, 3x_3,\dots) = 3x
  ]
  这说明(T^*T = 3I)，其中(I)是(l^2)上的恒等算子（就是把每个向量映射到自身的算子）。那这样的话：
  [
  \left( \frac{T^*T}{3} \right)^2 = \frac{(3I)^2}{9} = \frac{9I}{9} = I = \frac{T^*T}{3}
  ]
  完美满足幂等性。

所以(\frac{T^*T}{3})是正交投影。

同样从自伴性和幂等性入手：

• 自伴性：
  还是用伴随算子的运算性质：
  [
  \left( \frac{TT^}{3} \right)^ = \frac{(TT^*)}{3} = \frac{(T^*) T^}{3} = \frac{TT^}{3}
  ]
  自伴性成立。
• 幂等性：
  先看(TT^{*)的作用：对任意向量(y=(y_1,y_2,y_3,\dots))，(T}*y)是把每三个分量求和得到(S_1=y_1+y_2+y_3)，(S_2=y_4+y_5+y_6)，以此类推，也就是(T^*y=(S_1,S_2,S_3,\dots))。再把这个代入(T)的定义，就会把每个(S_k)重复三次，得到：
  [
  TT^*y = (S_1,S_1,S_1,S_2,S_2,S_2,S_3,S_3,S_3,\dots)
  ]
  现在计算((TT^*)2 y = TT^*(TTy))：先对(TT^*y)应用(T)，会把前三个(S_1)加起来得到(3S_1)，接下来三个(S_2)加起来得到(3S_2)，也就是(T^*(TTy)=(3S_1,3S_2,\dots))；再对这个结果应用(T)，就会把每个(3S_k)重复三次，得到：
  [
  TT^*(TTy) = (3S_1,3S_1,3S_1,3S_2,3S_2,3S_2,\dots) = 3 \cdot (S_1,S_1,S_1,S_2,S_2,S_2,\dots) = 3 TT^y
  ]
  所以：
  [
  \left( \frac{TT^}{3} \right)^2 = \frac{(TT^*)2}{9} = \frac{3 TT^}{9} = \frac{TT^}{3}
  ]
  幂等性也满足。

因此(\frac{TT^*}{3})也是正交投影。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者David