已知$f(x)=x+\cos x$，求$\int^{\pi}_{0}f^{-1}(x)\,\mathrm dx$的计算求助

首先要给你点个赞：你的换元法和积分推导完全正确！接下来我们聚焦反函数值的求解——因为 $f(x) = x + \cos x$ 是严格单调递增的函数（$f'(x) = 1 - \sin x \geq 0$，且仅在 $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ 处导数为0，不影响整体单调性），所以每个函数值对应唯一的反函数值，但遗憾的是，这个反函数没有初等解析表达式，我们只能通过数值迭代法来近似求解。

一、求解 $f^{-1}(0)$ #

我们需要解方程：
$$x + \cos x = 0$$
这个方程的解是一个知名的超越数，叫做Dottie数，通常用 $\mathcal{D}$ 表示，它的近似值可以通过牛顿迭代法快速得到：

1. 确定初始区间：$f(-\frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{2} \approx -1.57 < 0$，$f(0) = 1 > 0$，所以根在 $(-\frac{\pi}{2}, 0)$ 之间，取初始值 $x_0 = -0.7854$（即 $-\frac{\pi}{4}$）。
2. 牛顿迭代公式：$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = x_n - \frac{x_n + \cos x_n}{1 - \sin x_n}$
3. 迭代计算：
   • 第1次迭代：$x_1 = -0.7854 - \frac{-0.7854 + 0.7071}{1 - (-0.7071)} \approx -0.7395$
   • 第2次迭代：$x_2 = -0.7395 - \frac{-0.7395 + 0.7431}{1 + 0.6736} \approx -0.7417$
   • 第3次迭代：$f(x_2) \approx -0.7417 + \cos(-0.7417) \approx 0$，已经足够精确。

最终得到 $f^{-1}(0) \approx -0.7417$。

二、求解 $f^{-1}(\pi)$ #

我们需要解方程：
$$x + \cos x = \pi$$
同样用牛顿迭代法：

1. 确定初始区间：$f(\pi) = \pi + \cos\pi = \pi - 1 \approx 2.14 < \pi$，$f(\frac{3\pi}{2}) = \frac{3\pi}{2} + \cos\frac{3\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 > \pi$，所以根在 $(\pi, \frac{3\pi}{2})$ 之间，取初始值 $x_0 = \pi \approx 3.1416$。
2. 牛顿迭代公式：$x_{n+1} = x_n - \frac{x_n + \cos x_n - \pi}{1 - \sin x_n}$
3. 迭代计算：
   • 第1次迭代：$x_1 = \pi - \frac{\pi - 1 - \pi}{1 - 0} = \pi + 1 \approx 4.1416$
   • 第2次迭代：$x_2 = 4.1416 - \frac{4.1416 + \cos(4.1416) - \pi}{1 - \sin(4.1416)} \approx 3.892$
   • 第3次迭代：$x_3 = 3.892 - \frac{3.892 + \cos(3.892) - \pi}{1 - \sin(3.892)} \approx 3.8809$
   • 第4次迭代：$x_4 = 3.8809 - \frac{3.8809 + \cos(3.8809) - \pi}{1 - \sin(3.8809)} \approx 3.8832$
   • 此时 $f(x_4) \approx 3.8832 + \cos(3.8832) \approx \pi$，精度足够。

最终得到 $f^{-1}(\pi) \approx 3.8832$。

总结 #

把这两个近似值代入你已经推导好的积分结果，就能得到定积分的近似值。如果需要更高精度，只需要多做几次牛顿迭代即可。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者DXT