等距插值误差：等距节点乘积项上界及误差公式技术问询

首先，咱们明确问题背景：在区间$[a,b]$上，我们取$n$个等距中点节点，定义为：
$$x_i = a + (2i + 1)\frac{h}{2}, \quad 0 \leqslant i \leqslant n − 1, \quad h = \frac{b-a}{n}$$
需要找到$\prod_{i=0}^{n-1}|x − x_i|$在$a \leqslant x \leqslant b$时的上界，同时关联给定的插值误差公式。

一、$\prod_{i=0}^{n-1}|x − x_i|$的上界推导 #

为了简化计算，我们先做变量替换，将原区间$[a,b]$映射到更易处理的区间：
令$u = \frac{2(x - a)}{h} - 1$，则$x = a + \frac{h}{2}(u + 1)$，此时：

• 当$x=a$时，$u=-1$；当$x=b$时，$u=2n-1$
• 每个节点$x_i$对应的$u_i = 2i + 1$（代入$x_i$的定义即可验证）

于是，$x - x_i = \frac{h}{2}(u + 1) - \frac{h}{2}(2i + 1) = \frac{h}{2}(u - 2i)$，因此乘积可以改写为：
$$\prod_{i=0}^{n-1}|x − x_i| = \left(\frac{h}{2}\right)^n \prod_{i=0}^{n-1}|u - 2i|$$

接下来，我们需要找到$\prod_{i=0}^{n-1}|u - 2i|$在$u \in [-1, 2n-1]$的最大值。观察这个乘积的对称性：它关于$u = n-1$对称，因此只需考虑$u \in [-1, n-1]$的情况。

当$u=-1$（对应原区间的左端点$x=a$）时，乘积为：
$$\prod_{i=0}^{n-1}|-1 - 2i| = \prod_{i=0}^{n-1}(2i + 1)$$
这是前$n$个奇数的乘积，利用双阶乘公式$(2n)! = 2^n n! \cdot (2n-1)!!$（其中$(2n-1)!!$表示前$n$个奇数的乘积），可以得到：
$$\prod_{i=0}^{n-1}(2i + 1) = (2n-1)!! = \frac{(2n)!}{2^n n!}$$

将其代回乘积表达式：
$$\prod_{i=0}^{n-1}|x − x_i| = \left(\frac{h}{2}\right)^n \cdot \frac{(2n)!}{2^n n!} = \frac{h^n (2n)!}{2^{2n} n!}$$

我们可以验证这个值确实是最大值：比如当$n=2$时，$h=(b-a)/2$，节点为$x_0=a+h/2$、$x_1=a+3h/2$，在$x=a$处乘积为$|a-x_0||a-x_1|=(h/2)(3h/2)=3h²/4$，而代入公式得到$\frac{h² \cdot 4!}{2^4 \cdot 2!} = \frac{24h²}{16 \cdot 2} = 3h²/4$，完全吻合；且区间内其他点的乘积值均小于这个结果。

因此，我们得到上界：
$$\prod_{i=0}^{n-1}|x − x_i| \leqslant \frac{h^n(2n)!}{2{2n}n!}$$

二、与插值误差公式的关联 #

对于$n$个节点构造的$n-1$次插值多项式$p(x)$，插值误差的一般形式为：
$$|f(x) − p(x)| = \frac{|f^{(n)}(\xi)|}{n!} \prod_{i=0}^{n-1}|x − x_i|, \quad \xi \in (a,b)$$

令$M = \max_{x \in [a,b]} |f^{(n)}(x)|$，代入我们刚刚得到的乘积上界，可得：
$$|f(x) − p(x)| \leqslant \frac{M}{n!} \cdot \frac{h^n(2n)!}{2{2n}n!}$$

现在我们可以将这个结果与给定的误差公式$\frac{Mh^{n + 1}}{4(n + 1)}$关联起来：
由于$h = \frac{b-a}{n}$，即$b-a = nh$，我们可以对推导结果做近似或化简。比如当$n$较大时，利用斯特林公式$n! \sim \sqrt{2\pi n} (n/e)^{n$，可以得到$\frac{(2n)!}{(n!)}2} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$，代入后能看到两者都是基于乘积上界的误差估计，给定公式是更简洁的简化形式，可能是通过聚焦区间中点误差或放宽估计条件得到的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者james black