关于Gelfand三元组$V \subset H \subset V^*$的澄清及技术问询

设$V$和$H$为两个希尔伯特（Hilbert）空间，满足$V$连续稠密嵌入到$H$中，则有$$V \subset H \cong H' \hookrightarrow V',$$其中$\cong$表示存在等距同构，$\hookrightarrow$表示存在连续单射。现正式问询：是否总能找到与$V'$等距同构的希尔伯特空间$V^{*$，使得$H$连续稠密嵌入到$V}*$中？例如当$$ V=\left{u \in {\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}; \sum_{n=1}^\infty n^2 u_n^2 < \infty\right}$$时便满足该情况。

解答 #

嘿，这个问题的答案是肯定的！咱们可以借助希尔伯特空间的核心特性来构造出符合要求的$V^*$，具体思路如下：

• 选定$V^*$的空间载体
  因为$V$是希尔伯特空间，它的对偶空间$V'$本身也是希尔伯特空间，所以我们直接取$V^*$为$V'$（或者任何与$V'$等距同构的空间——毕竟等距同构会完全保留空间的拓扑和嵌入性质）。

• 构造$H$到$V^*$的连续嵌入映射
  已知$V$连续稠密嵌入到$H$，这个嵌入会诱导出一个连续单射$\iota': H' \to V'$（也就是题目里标注的$\hookrightarrow$）。再结合希尔伯特空间的里斯表示定理：$H$和它的对偶空间$H'$之间存在一个等距同构$\rho: H \to H'$（简单说就是每个$H$中的元素都能对应到$H'$里的一个线性泛函，且范数保持不变）。
  把这两个映射复合起来，得到$J = \iota' \circ \rho: H \to V'$，这就是我们要的嵌入：

  • 连续性：$\rho$是等距同构（自然连续），$\iota'$是连续单射，所以复合后的$J$必然连续。
  • 单射性：如果$J(h_1)=J(h_2)$，那对任意$v \in V$，$\langle h_1, v \rangle_H = \langle h_2, v \rangle_H$。因为$V$在$H$中稠密，$V$的元素能逼近$H$里的所有元素，所以必然有$h_1=h_2$，说明$J$是单射。

• 验证稠密性要求
  接下来要证明$J(H)$在$V^*$中是稠密的：任取$f \in V'$，我们总能找到$H$中的序列${h_n}$，使得$|J(h_n) - f|_{V'} \to 0$。
  举个直观的例子你就懂了：比如取$V=H^{1(\Omega)$（带一阶导数的平方可积索伯列夫空间），$H=L}2(\Omega)$（平方可积函数空间），此时$V'=H^{{-1}(\Omega)$（$H}1$的对偶空间，包含广义函数），而$L^{2(\Omega)$确实能连续稠密嵌入到$H}{-1}(\Omega)$里——你可以用光滑函数去逼近任何$H^{{-1}$中的广义函数，而光滑函数本身就在$L}2$里。
  再看你提到的序列空间例子：$V$是满足$\sum n^2 u_n^2 < \infty$的序列空间，$H=l^2(\mathbb{N})$，此时$V'$是满足$\sum f_n^2/n2 < \infty$的序列空间。$l^2$中的元素嵌入到$V'$里是连续的（因为$\sum f_n^2/n2 \leq \sum f_n^2$），而且用截断序列就能逼近$V'$里的任意元素，完全符合稠密性要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者perturbation