求一个是拓扑浸没但非光滑浸没的光滑映射（John Lee习题）

嘿，这个问题我太熟了！给你一个在欧氏空间里就能轻松构造的经典例子：

考虑光滑映射 f: ℝ² → ℝ²，定义为：

f(x, y) = (x, y³)

咱们一步步拆解为什么它完全符合你的要求：

x 和 y³ 都是多项式函数，而多项式在整个欧氏空间上都是无限次可微的，所以 f 是光滑映射没问题。

光滑浸没要求映射在每一点的微分都是满秩的。咱们算一下 f 的微分：
在任意点 (x, y) 处，微分矩阵是：

Df(x, y) = [[1,  0],
            [0, 3y²]]

当 y = 0 时，这个矩阵的第二行全是 0，秩为 1，而目标空间 ℝ² 是 2 维的，满秩需要秩为 2。所以在所有 y=0 的点上，微分都不满秩，因此 f 不是光滑浸没。

拓扑浸没的核心要求是：对每个点，都存在该点的邻域，使得映射限制在这个邻域上是到目标空间某个开子集的同胚。咱们分两种情况验证：

• 当 y ≠ 0 时：微分矩阵的秩是 2，根据反函数定理，存在该点的小邻域，使得 f 在这个邻域上是微分同胚到它的像，自然也是拓扑同胚，满足拓扑浸没的条件。
• 当 y = 0 时：取点 (x₀, 0)，选邻域 U = (x₀-ε, x₀+ε) × (-δ, δ)（ε, δ 都是足够小的正数）。f(U) 就是 (x₀-ε, x₀+ε) × (-δ³, δ³)，这是 ℝ² 里的开集。而且 f 在 U 上是双射——对每个 (x, z) ∈ f(U)，唯一对应 (x, z^(1/3))，立方根函数在实数域上是连续的，所以逆映射也连续，因此 f|U 是 U 到 f(U) 的拓扑同胚。

这样一来，f 就满足所有要求：光滑，是拓扑浸没，但不是光滑浸没。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Keith