求满足X_n⇒(0,1)均匀分布但密度f_n(x)处处不收敛于1的随机变量示例

嘿，这个问题其实有个非常经典的构造思路，核心就是抓住弱收敛只要求分布函数点点收敛，而完全不要求密度函数有逐点收敛性——我们可以让密度在区间上不断“振荡”，但整体的积分（也就是分布函数）会逐渐逼近均匀分布的分布函数。下面给你具体的构造方案和验证：

我们构造一列随机变量$X_n$，它们的密度函数$f_n(x)$定义如下：

• 把区间$[0,1]$等分成$n$个长度为$\frac{1}{n}$的子区间：$I_{n,k} = \left[\frac{k}{n}, \frac{k+1}{n}\right)$，其中$k=0,1,...,n-1$。
• 对每个子区间$I_{n,k}$，再拆成两个长度相等的半区间：前半段$I_{n,k}^+ = \left[\frac{k}{n}, \frac{k+0.5}{n}\right)$，后半段$I_{n,k}^- = \left[\frac{k+0.5}{n}, \frac{k+1}{n}\right)$。
• 定义密度函数：
  $$
  f_n(x) =
  \begin{cases}
  2, & \text{若 } x \in I_{n,k}^+ \text{ 对某个 } k \
  0, & \text{若 } x \in I_{n,k}^- \text{ 对某个 } k \
  1, & \text{若 } x=1 \text{（端点值不影响积分结果）}
  \end{cases}
  $$

验证1：$X_n$弱收敛到$(0,1)$均匀分布 #

弱收敛的定义是：$X_n$的分布函数$F_n(x) = P(X_n \leq x)$，对所有$x\in[0,1]$都收敛到均匀分布的分布函数$F(x)=x$。

任取$x\in[0,1]$，设$k_n = \lfloor nx \rfloor$（即最大的整数$k$满足$\frac{k}{n} \leq x$），分两种情况看：

• 如果$x$落在$I_{n,k_n}$的前半段（$x < \frac{k_n+0.5}{n}$）：$F_n(x)$等于前$k_n$个完整子区间的概率（每个子区间的总概率是$\frac{1}{n}$）加上当前半区间的积分，也就是$k_n \cdot \frac{1}{n} + 2 \cdot (x - \frac{k_n}{n}) = 2x - \frac{k_n}{n}$。当$n\to\infty$时，$\frac{k_n}{n}$趋近于$x$，所以$F_n(x)\to 2x -x =x$。
• 如果$x$落在$I_{n,k_n}$的后半段（$x \geq \frac{k_n+0.5}{n}$）：$F_n(x)$等于前$k_n$个完整子区间的概率加上当前子区间前半段的全部概率，也就是$k_n \cdot \frac{1}{n} + 2 \cdot \frac{1}{2n} = \frac{k_n+1}{n}$。当$n\to\infty$时，$\frac{k_n+1}{n}$也趋近于$x$（因为$\frac{k_n}{n} \leq x < \frac{k_n+1}{n}$）。

无论哪种情况，$F_n(x)$都收敛到$x$，满足弱收敛的要求。

验证2：对任意$x\in[0,1]$，$f_n(x)$不收敛到1 #

固定任意$x\in[0,1]$，观察$f_n(x)$的取值：

• 若$x$是无理数：随着$n$增大，$nx$的小数部分会无限次落在$[0,0.5)$和$[0.5,1)$之间（这是无理数的基本性质，小数部分不会稳定在某一段），所以$f_n(x)$会交替取2和0，永远不会收敛到1。
• 若$x$是有理数，比如$x=\frac{p}{q}$（$p,q$为整数）：当$n$不是$q$的倍数时，$nx = \frac{pn}{q}$的小数部分会循环出现小于0.5和大于等于0.5的情况，因此$f_n(x)$也会交替取2和0（端点处的取值不影响收敛性），同样不会收敛到1。

这样就完美满足了题目要求：$X_n$弱收敛到$(0,1)$均匀分布，但每个点的密度都不收敛到1。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Stat_prob_001