关于极坐标下梯度表达式及基向量选择的自然推导问询

我来帮你把梯度极坐标表达式的推导过程捋得明明白白，从通用的变量替换逻辑入手，一步步来就很自然啦～

一、先明确变量替换的基本逻辑 #

假设我们有一个变量替换映射 $g(x,y) = (u,v)$，它把笛卡尔坐标 $(x,y)$ 转换成新的坐标 $(u,v)$；对应的逆映射就是 $g^{-1}(u,v)=(x,y)$，能把新坐标转回去。

对于任意实值函数 $f(x,y)$，它在新坐标下的表达式可以写成 $\tilde{f}(u,v) = f(g^{-1}(u,v))$——说白了就是把 $x,y$ 用 $u,v$ 的表达式代进去，得到只关于 $u,v$ 的函数。

二、极坐标的变量关系与基向量 #

首先我们聚焦到极坐标的情况：

• 笛卡尔坐标转极坐标的映射：$g(x,y)=(r,\theta)$，其中 $r=\sqrt{x^2+y2}$（径向距离），$\theta=\arctan2(y,x)$（极角）
• 极坐标转笛卡尔坐标的逆映射：$g^{-1}(r,\theta)=(r\cos\theta, r\sin\theta)$

极坐标下的两个正交单位基向量定义是：
$$\boldsymbol{e}r = (\cos\theta, \sin\theta), \quad \boldsymbol{e}\theta = (-\sin\theta, \cos\theta)$$
划重点：$\boldsymbol{e}r$ 是指向 $r$ 增大方向的径向单位向量，$\boldsymbol{e}\theta$ 是指向 $\theta$ 增大方向的切向单位向量，二者互相垂直且长度都是1。

三、一步步推导梯度的极坐标表达式 #

我们的目标是把笛卡尔坐标系下的梯度 $\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\boldsymbol{e}_x + \frac{\partial f}{\partial y}\boldsymbol{e}y$，转换成极坐标下用 $\boldsymbol{e}r, \boldsymbol{e}\theta$ 和偏导数 $\partial_r, \partial\theta$ 表示的形式。

步骤1：用链式法则转换偏导数 #

因为 $f(x,y)=\tilde{f}(r,\theta)$，根据多元函数的链式法则：
$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial \tilde{f}}{\partial r}\cdot\frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial \tilde{f}}{\partial \theta}\cdot\frac{\partial \theta}{\partial x}$$
$$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial \tilde{f}}{\partial r}\cdot\frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial \tilde{f}}{\partial \theta}\cdot\frac{\partial \theta}{\partial y}$$

计算这些偏导数：

• $\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r} = \cos\theta$，$\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r} = \sin\theta$
• $\frac{\partial \theta}{\partial x} = -\frac{y}{r^2} = -\frac{\sin\theta}{r}$，$\frac{\partial \theta}{\partial y} = \frac{x}{r^2} = \frac{\cos\theta}{r}$

把这些代入后，得到：
$$\frac{\partial f}{\partial x} = \cos\theta \cdot \partial_r \tilde{f} - \frac{\sin\theta}{r} \cdot \partial_\theta \tilde{f}$$
$$\frac{\partial f}{\partial y} = \sin\theta \cdot \partial_r \tilde{f} + \frac{\cos\theta}{r} \cdot \partial_\theta \tilde{f}$$

步骤2：把笛卡尔基向量转成极坐标基向量 #

从 $\boldsymbol{e}r$ 和 $\boldsymbol{e}\theta$ 的定义，我们可以反推出笛卡尔基向量 $\boldsymbol{e}_x, \boldsymbol{e}_y$ 用极坐标基向量表示的形式：
$$\boldsymbol{e}_x = \cos\theta \boldsymbol{e}r - \sin\theta \boldsymbol{e}\theta$$
$$\boldsymbol{e}_y = \sin\theta \boldsymbol{e}r + \cos\theta \boldsymbol{e}\theta$$
（如果觉得推导麻烦，直接代入 $\boldsymbol{e}r$ 和 $\boldsymbol{e}\theta$ 的笛卡尔坐标表达式验证一下就知道是对的）

步骤3：代入梯度表达式并化简 #

现在把上面得到的偏导数和基向量表达式，都代入笛卡尔梯度公式里：
$$
\begin{align*}
\nabla f &= \left( \cos\theta \partial_r \tilde{f} - \frac{\sin\theta}{r} \partial_\theta \tilde{f} \right) (\cos\theta \boldsymbol{e}r - \sin\theta \boldsymbol{e}\theta) + \left( \sin\theta \partial_r \tilde{f} + \frac{\cos\theta}{r} \partial_\theta \tilde{f} \right) (\sin\theta \boldsymbol{e}r + \cos\theta \boldsymbol{e}\theta)
\end{align*}
$$

接下来展开式子，合并同类项：

• 对于 $\boldsymbol{e}r$ 的系数：
  $\cos^2\theta \partial_r \tilde{f} + \sin^2\theta \partial_r \tilde{f} + \left( -\frac{\sin\theta\cos\theta}{r} + \frac{\sin\theta\cos\theta}{r} \right) \partial\theta \tilde{f} = (\cos^2\theta + \sin^2\theta)\partial_r \tilde{f} = \partial_r \tilde{f}$
• 对于 $\boldsymbol{e}\theta$ 的系数：
  $-\cos\theta\sin\theta \partial_r \tilde{f} + \sin\theta\cos\theta \partial_r \tilde{f} + \left( \frac{\sin^2\theta}{r} + \frac{\cos^2\theta}{r} \right) \partial\theta \tilde{f} = \frac{1}{r}(\sin^2\theta + \cos^2\theta)\partial_\theta \tilde{f} = \frac{1}{r}\partial_\theta \tilde{f}$

这样就得到了最终的梯度极坐标表达式：
$$\nabla = \partial_r \boldsymbol{e}r + \frac{1}{r}\partial\theta \boldsymbol{e}_\theta$$

（如果是针对具体函数 $f$，也可以写成 $\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r}\boldsymbol{e}r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\boldsymbol{e}\theta$，本质是一样的）

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Xiao