将一副52张牌均分为两堆各26张，求4张A全在同一堆的概率

你的思路方向是对的——把牌排成一行，前26张当第一堆、后26张当第二堆，这个模型完全没问题，但你的推导里有个小细节需要修正，我帮你理清楚：

首先看你的式子：$\binom{26}{4} \times 4! \times 2 \times 48!$，这里的$2$是用来同时覆盖「全在第一堆」和「全在第二堆」的情况对吧？不过先拆解每部分的意义：

• $\binom{26}{4}$是从第一堆的26个位置里选4个放A，再乘以$4!$就是4张A在这4个位置的排列数，这部分没问题；
• 剩下48张牌的排列数是$48!$，这也对。

那「全在第一堆」的总排列数应该是$\binom{26}{4} \times 4! \times 48!$，同理「全在第二堆」的排列数也是$\binom{26}{4} \times 4! \times 48!$，所以符合条件的总排列数确实是你写的$2 \times \binom{26}{4} \times 4! \times 48!$。

接下来用总排列数$52!$来算概率，代入化简就能得到结果：
$$
\text{概率} = \frac{2 \times \binom{26}{4} \times 4! \times 48!}{52!}
$$
把组合数展开$\binom{26}{4} = \frac{26!}{4! \times 22!}$，代入后约掉$4!$，得到：
$$
\text{概率} = \frac{2 \times 26! \times 48!}{22! \times 52!}
$$
再把$52!$拆成$52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48!$，$26!$拆成$26 \times 25 \times 24 \times 23 \times 22!$，约掉$48!$和$22!$后：
$$
\text{概率} = \frac{2 \times 26 \times 25 \times 24 \times 23}{52 \times 51 \times 50 \times 49}
$$
最后约分计算：

• $52 = 2 \times 26$，约掉分子的$2$和$26$，分母剩下$2$；
• $50 = 2 \times 25$，约掉分子的$25$，分母剩下$2$；
  最终得到：
  $$
  \text{概率} = \frac{24 \times 23}{2 \times 51 \times 49} = \frac{92}{833} \approx 11.04%
  $$

更简洁的计算思路 #

其实不用考虑排列，用组合来算更直观：

• 总共有$\binom{52}{26}$种分堆方式（区分第一堆和第二堆）；
• 符合条件的分堆：要么第一堆包含所有4张A（从剩下48张里选22张补全第一堆，共$\binom{48}{22}$种），要么第二堆包含所有4张A（同样$\binom{48}{22}$种）；
  所以概率为：
  $$
  \text{概率} = \frac{2 \times \binom{48}{22}}{\binom{52}{26}}
  $$
  代入组合数展开后，和之前的排列法化简结果完全一致，最终也是$\frac{92}{833}$。

还有一种更直观的角度：从4张A的位置来看，从52个位置里选4个位置放A，全在第一堆26个位置的概率是$\frac{\binom{26}{4}}{\binom{52}{4}}$，全在第二堆的概率也是一样，所以总概率是$2 \times \frac{\binom{26}{4}}{\binom{52}{4}}$，计算后结果相同。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dilnoor