特征函数非标准扩张证明：$^*1_A = 1_{^*A}$

这是Sousa Pinto所著《Infinitesimal Methods for Mathematical Analysis》中的习题3.36，核心要证明的结论是：对于实数集的子集$A \subset \mathbb{R}$，其特征函数$1_A$的超扩张$\sideset{^{*}{}(1_{A})$，等于集合$A$的超扩张$\sideset{}}{}{A}$的特征函数$1_{ \sideset{^}{}{A}}$，即：
$$\sideset{^}{}(1_{A}) = 1_{ \sideset{^}{}{A}}$$

首先明确特征函数的定义：

集合$A \subset \mathbb{R}$的特征函数$1_A$定义为：
$$1_{A}(x)=\begin{cases} 1,& \text{当 } x \in A\ 0,& \text{当 } x \notin A \end{cases}$$

我遇到的困惑 #

在尝试证明这个等式时，我曾误以为存在矛盾：比如考虑序列$(1,0,1,0,1,...)$，我错误地认为：

• $(1,0,1,0,1,...) \in \sideset{^{*}{}(1_{A})(\sideset{}*}{}{\mathbb{R}})$
• 但同时$(1,0,1,0,1,...) \notin 1_{ \sideset{^*}{}{A}}$

后来发现这是对超函数与超集合的定义理解有误，下面给出完整的证明并纠正这个误解。

完整证明 #

要证明两个函数相等，只需证明对任意超实数$x \in {}^{*\mathbb{R}$，都有${}}*(1_A)(x) = 1_{{}^*A}(x)$，我们从超扩张的核心定义出发推导：

1. 回顾超扩张的超滤子构造定义 #

超实数和超函数都是通过超滤子等价类来定义的：

• 超实数$x \in {}^*\mathbb{R}$是实数序列$(x_n)$的等价类，记为$[(x_n)]$；两个序列等价当且仅当它们在超滤子$\mathcal{U}$下“几乎处处相等”（即相等的项对应的指标集属于$\mathcal{U}$）。
• 函数$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$的超扩张${}^f: {}^\mathbb{R} \to {}^{*\mathbb{R}$定义为：对超实数$[(x_n)]$，${}}*f([(x_n)]) = [(f(x_n))]$。
• 集合$A \subset \mathbb{R}$的超扩张${}^*A$是所有满足${n \mid x_n \in A} \in \mathcal{U}$的超实数$[(x_n)]$的集合。

2. 分别计算两边在任意超实数$x$处的值 #

设$x = [(x_n)]$是任意超实数：

计算${}^*(1_A)(x)$

根据超函数的定义，${}^*(1_A)([(x_n)]) = [(1_A(x_n))]$。而$1_A(x_n)$的取值规则是：当$x_n \in A$时为1，否则为0，因此这个序列就是$(y_n)$，其中$y_n=1$若$x_n \in A$，否则$y_n=0$。

计算$1_{{}^*A}(x)$

根据特征函数的定义，$1_{{}^*A}(x)=1$当且仅当$x \in {}^*A$，否则为0。
而$x \in {}^*A$等价于${n \mid x_n \in A} \in \mathcal{U}$，也就是序列$(y_n)$中等于1的项对应的指标集属于超滤子$\mathcal{U}$——这意味着超实数$[(y_n)]$就是超实数1（因为几乎处处为1）；反之，如果$x \notin {}^*A$，则${n \mid x_n \notin A} \in \mathcal{U}$，即$(y_n)$几乎处处为0，对应的超实数就是0。

3. 对比两者的值 #

• 当$x \in {}^*A$时，${}*(1_A)(x)=[(1,1,...)]=1$，同时$1_{{}^*A}(x)=1$，两者相等。
• 当$x \notin {}^*A$时，${}*(1_A)(x)=[(0,0,...)]=0$，同时$1_{{}^*A}(x)=0$，两者相等。

因此，对所有$x \in {}^{*\mathbb{R}$，${}}(1_A)(x)=1_{{}^{*A}(x)$，即$\sideset{}}{}(1_{A}) = 1_{ \sideset{^*}{}{A}}$。

纠正之前的误解 #

你提到的序列$(1,0,1,0,...)$对应的超实数$x=[(1,0,1,0,...)]$：

• 由于超滤子$\mathcal{U}$是超滤，对于指标集${n \mid n \text{ 奇数}}$，要么它属于$\mathcal{U}$，要么它的补集${n \mid n \text{ 偶数}}$属于$\mathcal{U}$。
  • 如果${n \mid n \text{ 奇数}} \in \mathcal{U}$，那么$x \in {}^*A$（假设$1 \in A$且$0 \notin A$），此时${}^{*(1_A)(x)=[(1,0,1,0,...)]$等价于超实数1（因为几乎处处为1），同时$1_{{}}*A}(x)=1$，两者相等。
  • 如果${n \mid n \text{ 偶数}} \in \mathcal{U}$，那么$x \notin {}^{*A$，此时${}}*(1_A)(x)$等价于超实数0，同时$1_{{}^*A}(x)=0$，两者也相等。

之前的错误在于把序列本身当成了超函数的取值，但超函数的取值是序列的等价类，而特征函数$1_{{}^{*A}(x)$的取值只能是超实数1或0，不存在“序列不属于特征函数像”的情况——因为超滤的性质保证了任何超实数要么属于${}}A$，要么属于${}^(\mathbb{R}\setminus A)$，对应的两个函数的取值必然一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Vitor Junior