连续分布函数下积分$I_n$的极限行为及相关比值极限问询

第二个问题：若$F$在某区间严格递增，$\frac{\int_{[0,a/n]}F(dx)}{\int_{[0,1/n]}F(dx)}\rightarrow a$是否成立？ #

答案是不一定成立，我们可以用具体例子说明：

取连续分布函数$F(x)$：
$$F(x) = \begin{cases}
0, & x<0 \
\sqrt{x}, & 0\leq x\leq1 \
1, & x>1
\end{cases}$$
它在$[0,1]$上严格递增，计算比值：
$$\frac{\int_{[0,a/n]}F(dx)}{\int_{[0,1/n]}F(dx)} = \frac{F(a/n)-F(0)}{F(1/n)-F(0)} = \frac{\sqrt{a/n}}{\sqrt{1/n}} = \sqrt{a}$$

当$a\in(0,1)$时，$\sqrt{a}\neq a$，显然极限不是$a$。

背后的原因是$F$在0点的增长速度是非线性的（这里是次线性增长）。只有当$F$在0点可导且导数不为0（即局部近似线性增长）时，这个比值才会趋近于$a$——比如$F(x)=x$（在$[0,1]$上）时，比值就是$(a/n)/(1/n)=a$，极限为$a$。但如果$F$是类似$x^{\alpha$（$\alpha\neq1$）的严格递增连续函数，极限会是$a}\alpha$，不等于$a$。

结论：这个极限不一定等于$a$，取决于$F$在0点附近的增长特性，仅当$F$在0点局部线性增长时成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Empty Set