求证：若(X,θ)是T₃空间且A是X的稠密子集，则∀a∈A，χ(a,A)=χ(a,X)

假设$(X,\theta)$是T₃空间（即正则且满足T₁公理），$A$是$X$的稠密子集，$a \in A$。我们需要证明$\chi(a,A) = \chi(a,X)$，其中$\chi(x,Y)$表示点$x$在空间$Y$中的特征——也就是$x$在$Y$中所有局部基的最小基数。

我们可以通过证明双向不等式来完成结论：

1. 证明 $\chi(a,A) \leq \chi(a,X)$ #

任取$a$在$X$中的一个局部基$\mathcal{B}(a)$，我们可以构造$a$在$A$中的一个局部基：
$$\mathcal{B}_A(a) = { U \cap A \mid U \in \mathcal{B}(a) }$$

验证$\mathcal{B}_A(a)$是局部基： #

对$A$中任意包含$a$的开集$V$，根据子空间拓扑的定义，必然存在$X$中的开集$U$使得$V = U \cap A$。由于$\mathcal{B}(a)$是$X$中的局部基，存在$U' \in \mathcal{B}(a)$满足$a \in U' \subseteq U$，此时$U' \cap A \subseteq U \cap A = V$，完全符合局部基的要求。

基数分析： #

显然$|\mathcal{B}_A(a)| \leq |\mathcal{B}(a)|$——因为可能存在不同的$U_1, U_2 \in \mathcal{B}(a)$，使得$U_1 \cap A = U_2 \cap A$，所以构造出的$\mathcal{B}_A(a)$基数不会超过原局部基的基数。

由于$\mathcal{B}(a)$是$X$中任意的局部基，取最小基数的那个局部基代入，就得到：
$$\chi(a,A) \leq \chi(a,X)$$

2. 证明 $\chi(a,X) \leq \chi(a,A)$ #

这部分需要用到T₃空间的正则性，以及$A$的稠密性：

设$\mathcal{B}_A(a)$是$a$在$A$中的一个局部基，且$|\mathcal{B}_A(a)| = \chi(a,A)$。对每个$V \in \mathcal{B}_A(a)$，根据子空间拓扑定义，存在$X$中的开集$U_V$使得$V = U_V \cap A$。

利用正则性构造$X$中的局部基： #

因为$X$是T₃空间，$a \in U_V$，而$X \setminus U_V$是闭集，根据正则性，存在$X$中的开集$W_V$满足：
$$a \in W_V \subseteq \text{cl}(W_V) \subseteq U_V$$

现在考虑集合$\mathcal{B}_X(a) = { W_V \mid V \in \mathcal{B}_A(a) }$，我们来验证它是$a$在$X$中的局部基：

任取$X$中包含$a$的开集$U$，由于$A$是$X$的稠密子集，$U \cap A$是$A$中包含$a$的开集。根据$\mathcal{B}_A(a)$是$A$中的局部基，存在$V \in \mathcal{B}_A(a)$使得$V \subseteq U \cap A$，即$U_V \cap A \subseteq U \cap A$。

结合$A$的稠密性，$\text{cl}(U_V \cap A) = \text{cl}(U_V)$，而$\text{cl}(U \cap A) = \text{cl}(U)$（开集与稠密子集的交稠密于该开集），因此：
$$\text{cl}(W_V) \subseteq U_V \subseteq \text{cl}(U_V) = \text{cl}(U_V \cap A) \subseteq \text{cl}(U \cap A) = \text{cl}(U)$$
又因为$U$是开集，$\text{cl}(U)$与$X \setminus U$无交集，所以$W_V \subseteq U$，这说明$\mathcal{B}_X(a)$确实是$a$在$X$中的局部基，且$|\mathcal{B}_X(a)| = |\mathcal{B}_A(a)| = \chi(a,A)$，因此：
$$\chi(a,X) \leq \chi(a,A)$$

结论 #

结合上述两个方向的不等式，我们得到：
$$\chi(a,A) = \chi(a,X)$$

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