求区间[10,100]内非Borel集的可测子集示例（已掌握Cantor集构造法）

没问题！既然你已经掌握了Cantor集上非Borel可测但Lebesgue可测子集的构造，把这个思路平移到[10,100]区间里其实非常直接，我给你拆解成具体步骤：

版本1：测度为0的子集（和你熟悉的Cantor集构造完全对应） #

这个版本直接复用你已知的方法，只需要做线性映射调整：

• 第一步：把标准三分Cantor集 ( C \subset [0,1] ) 映射到[10,100]里，定义线性同胚：
  g(x) = 10 + 90x
  得到集合 ( C' = g(C) )，它是[10,100]内的闭集、完全集、疏朗集，且Lebesgue测度为0（因为标准Cantor集测度为0，线性映射不改变测度为0的性质）。
• 第二步：构造从 ( C' ) 到[0,1]的连续满射：取标准Cantor函数 ( f:C \to [0,1] )（那个“魔鬼阶梯”），定义 ( f' = f \circ g^{-1} )，其中 ( g^{-1}(y) = (y-10)/90 ) 是g的逆映射。这样 ( f' ) 就是从 ( C' ) 到[0,1]的连续满射，性质和标准Cantor函数一致。
• 第三步：取[0,1]内的一个非Lebesgue可测集 ( E )（比如用选择公理构造的Vitali集变种）。
• 第四步：目标集合就是 ( S = (f')^{-1}(E) )，也就是 ( { y \in C' \mid f'(y) \in E } )。

这个集合 ( S ) 满足：

• Lebesgue可测：因为 ( C' ) 的测度为0，而测度为0的集合的任何子集都是Lebesgue可测的（测度也为0）。
• 非Borel可测：假设 ( S ) 是Borel集，那么 ( E = f'(S) ) 就是Borel集的连续像，属于解析集类。但解析集都是Lebesgue可测的，这和 ( E ) 是非可测集矛盾，所以 ( S ) 不可能是Borel集。

版本2：正测度的子集（如果需要非零测度的可测子集） #

如果你想要一个正测度的非Borel可测子集，只需要先在[10,100]里构造一个正测度的Cantor型集：

• 先构造 ( C'' \subset [10,100] )：类似标准Cantor集的构造，但每次去掉的区间比例更小。比如第一次去掉[10+45, 10+45+ε]（其中ε<45），然后在剩下的两个子区间里各去掉长度为ε/4的区间，以此类推。最终 ( C'' ) 的Lebesgue测度为 ( 90 - 2ε > 0 )（只要ε选得足够小）。
• 因为 ( C'' ) 和标准Cantor集 ( C ) 同胚（都是完全疏朗的闭集），我们可以定义一个Borel同胚 ( h:C \to C'' )。
• 取你已经熟悉的 ( C ) 上的非Borel可测子集 ( T )，那么 ( S' = h(T) ) 就是[10,100]内的子集。

这个 ( S' ) 满足：

• Lebesgue可测：( C'' ) 是Borel集（闭集），( h ) 是Borel同胚，它会把可测集映射为可测集，而 ( T ) 是可测的，所以 ( S' ) 可测。
• 非Borel可测：如果 ( S' ) 是Borel集，那么 ( T = h^{-1}(S') ) 也会是Borel集（因为Borel同胚的逆映射也是Borel映射），这和 ( T ) 是非Borel集矛盾，所以 ( S' ) 非Borel可测。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者R.Doeer