多项式映射下开盒的像是否凸？特定二元多项式映射的相关问询

咱们来一步步解答你的两个问题：

答案是否定的——不是所有多项式映射作用于开盒的像都是凸集。

举个直观的反例：考虑三元多项式映射 $F(x,y) = (x^2, y^2, x+y)$，开盒 $B=(-1,1)^2$。取像集中的两个点：

• $P=(0.5, 0, 0.5)$：对应 $x=0.5, y=0$（显然在 $B$ 内）；
• $Q=(0, 0.5, 0.5)$：对应 $x=0, y=0.5$（也在 $B$ 内）。

它们的连线中点是 $M=(0.25, 0.25, 0.5)$，但你找不到任何 $(x,y) \in B$ 满足 $x^2=0.25$、$y2=0.25$ 且 $x+y=0.5$：因为 $x$ 只能是 $\pm0.5$，$y$ 只能是 $\pm0.5$，$x+y$ 的可能值只有 $1, 0, -1$，根本取不到 $0.5$。这说明 $M$ 不在 $F(B)$ 里，因此 $F(B)$ 不是凸集。

结论：不一定是凸集 #

同样可以找到反例：比如映射 $F(x,y)=(x + y^2, y)$，它在 $(0,0)$ 处的雅可比矩阵是：
$$
J_F(0,0) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}
$$
行列式为 $1 \neq 0$，满足雅可比非零的条件。

它的像集 $F(B)$ 是所有满足 $y \in (-1,1)$ 且 $y^2 -1 < u < y^2 +1$ 的点 $(u,y)$。取像集中的两个点：

• $A=(1.5, 0.9)$：对应 $x=1.5 - 0.9^2=0.69$（在 $(-1,1)$ 内）；
• $B=(1.5, -0.9)$：对应 $x=1.5 - (-0.9)^2=0.69$（也在 $(-1,1)$ 内）。

它们的连线中点是 $(1.5, 0)$，但要得到这个点需要 $x=1.5 - 0=1.5$，而 $1.5 \notin (-1,1)$，因此中点不在 $F(B)$ 里，说明 $F(B)$ 不是凸集。

确保$F(B)$为凸集的条件 #

以下是几个充分条件（满足任意一个即可保证结论成立）：

• F是仿射线性映射：即 $F_1(x,y)=a_1x + b_1y + c_1$，$F_2(x,y)=a_2x + b_2y + c_2$，且线性部分的矩阵 $\begin{pmatrix}a_1&b_1\a_2&b_2\end{pmatrix}$ 可逆（题目中已经满足在 $(0,0)$ 雅可比非零，对于仿射映射来说这等价于线性部分可逆）。仿射映射会保持凸性，开盒是凸集，因此像集必然是凸集。
• F是单射的凸映射且雅可比处处非零：凸映射的定义是对任意 $t \in [0,1]$ 和 $(x_1,y_1),(x_2,y_2) \in B$，有 $F(t(x_1,y_1)+(1-t)(x_2,y_2)) \leq tF(x_1,y_1)+(1-t)F(x_2,y_2)$（分量-wise）。加上单射和雅可比处处非零的条件，可以保证像集的凸性。
• F的每个分量都是线性函数：这其实是仿射映射的特殊情况（常数项为0），同样能保证像集是凸集。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Johnny T.