确定给定一阶微分方程为恰当方程的参数及相关求解问题

我来接着你的思路往下完成这个推导，一步步解决这个问题：

首先先把你的尝试部分列出来：

本人已做尝试：令$P(x,y)=\frac{cx-ay}{ex+by}$，$Q(x,y)=-1$，则该微分方程等价于$P(x,y)+Q(x,y)y'=0$。P与Q在区域$D\subset\mathbb{R}^2$上连续可微（因二者为多项式），因此无需过多顾虑该条件。显然$e...

一、确定恰当方程的常数条件 #

恰当微分方程的核心判定准则是：对于形式为$P(x,y)dx + Q(x,y)dy=0$的方程，需满足$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$。

首先计算$\frac{\partial Q}{\partial x}$：因为$Q(x,y)=-1$，对$x$的偏导数显然是$\boldsymbol{0}$。

接下来计算$\frac{\partial P}{\partial y}$，对$P(x,y)=\frac{cx-ay}{ex+by}$用商的求导法则：
$$
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{(-a)(ex+by) - (cx-ay) \cdot b}{(ex+by)^2}
$$
展开分子并化简：
$$
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{-aex - aby - bcx + aby}{(ex+by)^2} = \frac{-(ae + bc)x}{(ex+by)^2}
$$

根据恰当条件$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}=0$，由于分母$(ex+by)^2$在定义域$D$内（即$ex+by\neq0$的区域）不为0，因此必须让分子恒为0，即：
$$
-(ae + bc)x = 0 \quad \forall x \in D
$$
由此得到实数常数的取值条件：
$$
\boldsymbol{ae + bc = 0}
$$

二、方程的一个特解 #

当满足$ae + bc = 0$时，原方程可整理为全微分形式：$(cx-ay)dx - (ex+by)dy=0$。我们可以通过积分直接构造特解：

情况1：取特殊常数简化 #

比如令$a=1, b=1$，则由$ae+bc=0$得$e + c=0$，即$c=-e$，代入原方程得：
$$
y'=\frac{-ex - y}{ex + y} = -1
$$
此时方程的特解（取常数$C=0$）为$\boldsymbol{y = -x}$。

一般情况的特解 #

对于满足$ae+bc=0$的任意常数，我们可以对全微分方程积分：
$$
\int (cx-ay)dx - \int (ex+by)dy = C
$$
计算积分后整理得：
$$
\frac{1}{2}cx^2 - (a+e)xy - \frac{1}{2}by^2 = C
$$
取$C=0$，就得到一个特解：
$$
\boldsymbol{cx^2 - 2(a+e)xy - by^2 = 0}
$$

三、过点$(x_0,y_0)$的切线方程 #

过点$(x_0,y_0)$的切线斜率就是该点处的导数，代入原方程得：
$$
k = y'\bigg|_{(x_0,y_0)} = \frac{cx_0 - ay_0}{ex_0 + by_0} \quad (\text{需满足} \ ex_0 + by_0 \neq 0)
$$

根据点斜式，切线方程为：
$$
y - y_0 = \frac{cx_0 - ay_0}{ex_0 + by_0}(x - x_0)
$$
也可以整理成整式形式：
$$
\boldsymbol{(ex_0 + by_0)(y - y_0) = (cx_0 - ay_0)(x - x_0)}
$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者1likeMaths