推导两类差分近似公式及误差项，疑问是否需求解原函数f(x)

嘿，我来帮你理清楚这两个数值微分公式的推导，还有你关心的核心疑问：完全不需要求解原函数f(x)，整个过程只依赖泰勒级数展开（只要f具备足够阶数的连续导数就行），这是数值微分里的标准操作。咱们一步步拆解：

推导过程 #

首先把 $f(x+2h)$ 和 $f(x-2h)$ 围绕点 $x$ 做泰勒展开（假设f存在至少4阶连续导数）：
$$
f(x+2h) = f(x) + 2h f'(x) + \frac{(2h)^2}{2!}f''(x) + \frac{(2h)^3}{3!}f'''(x) + \frac{(2h)^4}{4!}f{(4)}(\xi_1) \quad (\xi_1 \in (x, x+2h))
$$
$$
f(x-2h) = f(x) - 2h f'(x) + \frac{(2h)^2}{2!}f''(x) - \frac{(2h)^3}{3!}f'''(x) + \frac{(2h)^4}{4!}f{(4)}(\xi_2) \quad (\xi_2 \in (x-2h, x))
$$

把这两个式子相减，会发现 $f(x)$、$f''(x)$ 的项直接抵消：
$$
f(x+2h) - f(x-2h) = 4h f'(x) + \frac{2 \cdot (2h)^3}{6}f'''(x) + \frac{(2h)^4}{24}(f{(4)}(\xi_1)+f^{(4)}(\xi_2))
$$

接下来把 $f'(x)$ 单独解出来，两边同时除以 $4h$：
$$
f'(x) = \frac{1}{4h}(f(x+2h)-f(x-2h)) - \frac{2h^2}{3}f'''(x) - \frac{2h^3}{3} \cdot \frac{f^{{(4)}(\xi_1)+f}{(4)}(\xi_2)}{2}
$$

误差表达式 #

根据中间值定理，存在一个 $\xi \in (x-2h, x+2h)$，使得 $\frac{f^{{(4)}(\xi_1)+f}{(4)}(\xi_2)}{2} = f^{(4)}(\xi)$。代入后，误差的主导项（当h很小时，高次项可以忽略）就是：
$$
\text{误差} = -\frac{2h^2}{3}f'''(\xi)
$$
（注：你提到教材里的误差是 $−\dfrac{2}{3h^2}f'''(ξ)$，这应该是笔误，正确的形式是h²在分子，因为误差是和h²成正比的，h越小误差越小，符合数值微分的规律）

推导过程 #

还是用刚才的泰勒展开式，这次把两个式子相加，$f'(x)$、$f'''(x)$ 的项会抵消：
$$
f(x+2h) + f(x-2h) = 2f(x) + 2 \cdot \frac{(2h)^2}{2!}f''(x) + \frac{(2h)^4}{24}(f{(4)}(\xi_1)+f^{(4)}(\xi_2))
$$

整理一下，把含 $f''(x)$ 的项单独放一边：
$$
f(x+2h) - 2f(x) + f(x-2h) = 4h^2 f''(x) + \frac{2h^4}{3}(f{(4)}(\xi_1)+f^{(4)}(\xi_2))
$$

两边同时除以 $4h^2$，解出 $f''(x)$：
$$
f''(x) = \frac{1}{4h^2}(f(x+2h)-2f(x)+f(x-2h)) - \frac{h^2}{3} \cdot \frac{f^{{(4)}(\xi_1)+f}{(4)}(\xi_2)}{2}
$$

误差表达式 #

同样用中间值定理，存在 $\xi \in (x-2h, x+2h)$，使得 $\frac{f^{{(4)}(\xi_1)+f}{(4)}(\xi_2)}{2} = f^{(4)}(\xi)$，因此误差项为：
$$
\text{误差} = -\frac{h^2}{3}f{(4)}(\xi)
$$

再次明确：完全不需要求解原函数f(x)。整个推导只用到泰勒展开的性质——把函数在某点展开成多项式加余项，和f的具体形式无关，只要它满足光滑性要求（存在足够阶数的连续导数）就行。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user530646