求A=1-(1/x+1/y+1/z)的最小值，满足1/x+1/y+1/z <1且x,y,z为不同自然数

嘿，我来帮你接着推进这个问题！先把咱们的问题和你已经完成的推导梳理清楚：

设$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} < 1$，其中$x、y、z$为互不相等的自然数（$\mathbb{N}$），求$A=1-(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z})$的最小值。

你已经推导到了关键步骤：
$$\frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z} < 1$$
$$\frac{yz+xz+xy}{xyz} < 1$$
$$yz+xz+xy < xyz$$

核心思路 #

要让$A$最小，本质就是要让$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$尽可能接近1（但必须小于1）。那咱们就从最小的互不相等自然数开始尝试，逐步找到满足条件的最大倒数和。

逐步验证 #

• 先试最小的三个互不相等自然数：2、3、4，它们的倒数和是$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{13}{12}>1$，不符合“小于1”的要求；
• 换成2、3、5：$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{31}{30}>1$，还是超了；
• 再试2、3、6：$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1$，刚好等于1，不满足“小于1”的条件；
• 接下来试2、3、7：$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}=\frac{41}{42}\approx0.976$，这时候$A=1-\frac{41}{42}=\frac{1}{42}$；
• 再看看其他组合：比如2、4、5的倒数和是$\frac{19}{20}=0.95$，比$\frac{41}{42}$小；3、4、5的倒数和是$\frac{47}{60}\approx0.783$，差距更大。

确认最优解 #

有没有可能找到倒数和比$\frac{41}{42}$更大且小于1的组合？咱们来反推一下：
假设存在这样的三个数$x<y<z$，那么$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{41}{42}$。

• 如果$x=2$，$y=3$，那么$\frac{1}{z}>\frac{41}{42}-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{7}$，也就是$z<7$，但$z$必须大于$y=3$且不等于2、3，可选的z是4、5、6，对应的倒数和都大于或等于1，不符合要求；
• 如果$x=2$，$y\geq4$，计算后会发现找不到符合条件的$z$（要么z小于y，要么倒数和不够大）；
• 如果$x\geq3$，倒数和会更小，不可能超过$\frac{41}{42}$。

所以，满足条件的最大倒数和就是$\frac{41}{42}$，对应的$A$最小值就是$\frac{1}{42}$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Fricul38