求证：d(T₁,T₂)=∥T₁-T₂∥是希尔伯特空间有界线性算子空间的度量

没问题，我来帮你补完剩下的证明步骤！我们需要验证度量的三个核心公理（你已经完成了「正定性」中「当距离为0时算子相等」的关键部分，现在补全剩余内容）：

1. 补全非负性证明 #

根据算子范数的定义：对于任意有界线性算子$S$，$|S| = \sup{|Sx| \mid x \in H, |x| \leq 1}$。而希尔伯特空间中的向量范数天然满足非负性——$|Sx| \geq 0$对所有$x \in H$成立，因此这个上确界必然是非负的。

对于任意$T_1, T_2 \in V$，令$S = T_1 - T_2$，则$d(T_1, T_2) = |S| \geq 0$。结合你已经证明的「若$d(T_1, T_2)=0$则$T_1=T_2$」，度量的正定性（非负性+距离为0当且仅当算子相等）就完整了。

2. 对称性证明 #

我们需要证明$d(T_1, T_2) = d(T_2, T_1)$：
首先回忆算子范数的一个基本性质：对于任意有界线性算子$S$，$|-S| = |S|$。推导过程很简单：
$$
|-S| = \sup{|(-S)x| \mid x \in H, |x| \leq 1} = \sup{|-Sx| \mid x \in H, |x| \leq 1}
$$
而希尔伯特空间的向量范数满足$|-y| = |y|$对任意$y \in H$成立，因此上式等于$\sup{|Sx| \mid x \in H, |x| \leq 1} = |S|$。

现在令$S = T_1 - T_2$，则$T_2 - T_1 = -S$，代入距离定义可得：
$$
d(T_1, T_2) = |T_1 - T_2| = |S| = |-S| = |T_2 - T_1| = d(T_2, T_1)
$$
对称性得证。

3. 三角不等式证明 #

我们需要证明$d(T_1, T_3) \leq d(T_1, T_2) + d(T_2, T_3)$，也就是$|T_1 - T_3| \leq |T_1 - T_2| + |T_2 - T_3|$。

首先观察到$T_1 - T_3 = (T_1 - T_2) + (T_2 - T_3)$，令$S_1 = T_1 - T_2$，$S_2 = T_2 - T_3$，则问题转化为证明算子范数的三角不等式：$|S_1 + S_2| \leq |S_1| + |S_2|$。

证明这个性质：对于任意$x \in H$且$|x| \leq 1$，根据希尔伯特空间向量范数的三角不等式，有：
$$
|(S_1 + S_2)x| = |S_1x + S_2x| \leq |S_1x| + |S_2x|
$$
根据算子范数的定义，$|S_1x| \leq |S_1| \cdot |x| \leq |S_1|$（因为$|x| \leq 1$），同理$|S_2x| \leq |S_2|$。因此：
$$
|(S_1 + S_2)x| \leq |S_1| + |S_2|
$$
对所有$|x| \leq 1$的$x$成立。而$|S_1 + S_2|$是这些$|(S_1 + S_2)x|$的上确界，所以上确界必然小于等于这个共同的上界，即：
$$
|S_1 + S_2| \leq |S_1| + |S_2|
$$

代回$S_1$和$S_2$的定义，就得到：
$$
|T_1 - T_3| \leq |T_1 - T_2| + |T_2 - T_3|
$$
也就是$d(T_1, T_3) \leq d(T_1, T_2) + d(T_2, T_3)$，三角不等式得证。

至此，度量的所有公理全部验证完毕，因此$d(T_1, T_2) = |T_1 - T_2|$确实是$V$上的度量。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user380605