利用Chernoff界推导概率极限等式：从式(2)到式(1)的证明问询

嘿，我来一步步帮你理清怎么从式(2)推导出式(1)，核心是用概率论里的Borel-Cantelli引理来连接“有限n的概率收敛”和“几乎必然的极限结果”～

先把已知条件再明确一下：

• 设$X_1, ..., X_n$是独立伯努利随机变量，它们的和为$S_n$，每个$X_i$取1的概率$p > 1/2$。
• 通过Chernoff界，我们已经得到对任意有限n：
  $$\Pr\left[S_n>{n \over 2}\right]\geq 1-e^{-{\frac {1}{2p}}n\left(p-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}$$
• 进而推出了式(2)：
  $$\lim_{n \to \infty}\Pr\left[S_n>{n \over 2}\right]=1 \tag{2}$$

现在我们要证明的式(1)是：
$$\Pr\left[\lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n}>{1 \over 2}\right]=1 \tag{1}$$

核心推导：用Borel-Cantelli引理搭桥 #

要完成这个推导，关键是把“对每个大n，$S_n > n/2$的概率趋近于1”，转化为“几乎必然地，$\frac{S_n}{n}$的极限严格大于1/2”，具体步骤如下：

1. 定义事件序列：
   对每个正整数n，令$A_n = \left{ S_n \leq \frac{n}{2} \right}$——也就是我们不想看到的情况：第n次的样本均值没超过1/2。

2. 计算事件概率的级数和：
   根据Chernoff界的结果，$\Pr(A_n) = 1 - \Pr\left[S_n > \frac{n}{2}\right] \leq e^{-{\frac {1}{2p}}n\left(p-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}$。
   因为$p>1/2$，所以指数上的系数$\frac{1}{2p}(p - 1/2)^{2$是个正数，这意味着$\Pr(A_n)$是**指数衰减**的，对应的级数$\sum_{n=1}}\infty \Pr(A_n)$必然收敛（比普通的几何级数收敛得还快）。

3. 应用Borel-Cantelli引理第一部分：
   这个引理的核心结论是：如果一个事件序列的概率和收敛，那么“无穷多个事件发生”的概率为0。放到我们的场景里就是：
   $$\Pr\left( \limsup_{n\to\infty} A_n \right) = 0$$
   翻译成大白话就是：“无穷多次出现$S_n \leq n/2$”这件事几乎不可能发生。

4. 补事件的概率为1：
   $\limsup A_n$的补事件是“只有有限个$A_n$发生”——也就是说，存在某个正整数N，当n > N时，$S_n > \frac{n}{2}$就一直成立了。这个补事件的概率是1，因为原事件概率为0。

5. 关联到极限结论：
   如果当n足够大时，$\frac{S_n}{n} > \frac{1}{2}$恒成立，再结合我们已经知道的强大数定律（$\frac{S_n}{n}$几乎必然收敛到p>1/2），显然可以推出$\lim_{n\to\infty} \frac{S_n}{n} > \frac{1}{2}$几乎必然成立，这就是我们要的式(1)啦！

另外补充一点：你也可以从几乎必然收敛的定义出发，对任意$\epsilon \in (0, p - 1/2)$，用Chernoff界估计$\Pr\left[S_n \leq \frac{n}{2} + \epsilon n\right]$，再重复上面的步骤，也能得到同样的结论，本质都是用Borel-Cantelli引理把“有限n的概率估计”升级为“几乎必然的极限结果”。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Susan_Math123