技术问询：若||xₙ₊₁-xₙ||→0且||xₙ||有界，能否证明{xₙ}收敛？

首先直接给结论：你提出的这个命题不成立——存在满足$|x_{n+1}-x_n|\to 0$且$|x_n|< B$的序列，但它并不收敛。我来给你拆解一下：

先看一个直观的反例 #

拿二维平面里的单位圆举例子，定义序列${x_n}$：
$$x_n = \left( \cos\left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \right), \sin\left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \right) \right)$$

• 它肯定是有界的：每个点都在单位圆上，$|x_n|=1$，随便取个$B=2$就满足$|x_n|<B$；
• 相邻项的距离确实趋于0：计算$|x_{n+1}-x_n|$，用三角函数差公式展开后会得到$2\left| \sin\left( \frac{1}{2(n+1)} \right) \right|$，当$n$变大时，这个值会趋近于0；
• 但它不收敛：因为$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$是调和级数，会无限增大，对应的角度$\theta_n$会绕着单位圆一直转，永远不会停在某个固定点上，所以整个序列没有极限。

为什么你的尝试没成功？ #

你用Bolzano-Weierstrass定理找到收敛子列${x_{n_k}}\to x^$，然后用三角不等式拆分$|x_n - x^|$，但遇到了$\epsilon$依赖$n$的问题，核心原因在于：相邻项的小距离累加起来可能是发散的。就像上面的反例，每一步的步长$\frac{1}{k}$很小，但加起来却能绕圈无数次，导致从子列的某个点$x_{n_k}$到后面的$x_n$，中间的距离和可能一直没法被一个固定的小$\epsilon$控制——毕竟绕半圈的话，距离就接近2了，根本没法趋近于0。

补充：要让命题成立，得加什么条件？ #

如果想让这种序列一定收敛，得加额外约束，比如：

• 要求$\sum_{n=1}^\infty |x_{n+1}-x_n|$收敛（这时候序列是Cauchy列，必然收敛）；
• 或者要求所有收敛子列都收敛到同一个点（这相当于排除了像反例里那种“绕圈”的情况）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user3002473