不借助弱零点定理证明$\mathbf{C}[x,y]$的极大理想结构

要解决这个问题，我们可以结合代数闭域的核心性质和理想相等的判定规则来逐步推导，具体步骤如下：

1. 拆解商环$\mathbf{C}[x]/(x - a)$的结构 #

因为$x - a$是$\mathbf{C}[x]$中的一次素元（不可约多项式，满足素元定义），根据多项式余数定理，任意$f(x) \in \mathbf{C}[x]$都可以写成：
$$f(x) = (x - a)q(x) + f(a)$$
其中$q(x) \in \mathbf{C}[x]$，$f(a) \in \mathbf{C}$。这意味着商环$\mathbf{C}[x]/(x - a)$与$\mathbf{C}$完全同构，映射关系为$f(x) \mapsto f(a)$，即$\mathbf{C}[x]/(x - a) \cong \mathbf{C}$。

2. 利用代数闭域性质锁定$\overline{g}$的形式 #

题目中给出，$\overline{g} \in (\mathbf{C}[x]/(x - a))[y]$不可约。结合第一步的结论，$(\mathbf{C}[x]/(x - a))[y]$其实就是$\mathbf{C}[y]$（因为商环等价于$\mathbf{C}$）。

而$\mathbf{C}$是代数闭域——代数闭域上的一元多项式环中，不可约多项式只能是一次多项式（任何次数≥2的多项式都能分解为一次因式的乘积）。因此$\overline{g}(y) = g(a, y)$（将$x=a$代入$g(x,y)$得到的一元多项式）必然形如：
$$\overline{g}(y) = y - b$$
其中$b \in \mathbf{C}$。

3. 双向证明理想相等：$(x - a, g(x,y)) = (x - a, y - b)$ #

要证明两个理想相等，只需证明它们互相包含：

• 方向1：$(x - a, y - b) \subseteq (x - a, g(x,y))$
  由$\overline{g}(y) = g(a,y) = y - b$可知，$g(x,y) - (y - b)$在$x=a$时取值为0，因此$x - a$是$g(x,y) - (y - b)$的因式，即存在$h(x,y) \in \mathbf{C}[x,y]$使得：
  $$g(x,y) = (x - a)h(x,y) + (y - b)$$
  整理得：
  $$y - b = g(x,y) - (x - a)h(x,y)$$
  这说明$y - b$可以由$x - a$和$g(x,y)$线性组合得到，因此$y - b \in (x - a, g(x,y))$，进而$(x - a, y - b) \subseteq (x - a, g(x,y))$。

• 方向2：$(x - a, g(x,y)) \subseteq (x - a, y - b)$
  同样从上面的等式$g(x,y) = (x - a)h(x,y) + (y - b)$可以看出，$g(x,y)$是$x - a$和$y - b$的线性组合，因此$g(x,y) \in (x - a, y - b)$，进而$(x - a, g(x,y)) \subseteq (x - a, y - b)$。

4. 最终结论 #

由上述双向包含关系可知，$(x - a, g(x,y)) = (x - a, y - b)$。结合题目中给出的“$\mathbf{C}[x,y]$的极大理想可表示为$(x - a, g(x,y))$”的前提，就证明了$\mathbf{C}[x,y]$中的极大理想恰好是形如$(x - a, y - b)$的理想（其中$a,b \in \mathbf{C}$）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Drew Brady