关于置换矩阵C、A生成S3群剩余矩阵及张量积生成置换的问询

没问题，咱们一步步把这个问题拆解清楚，先从S₃群的生成问题入手：

1. 用矩阵C和A生成S₃的全部元素 #

首先明确两个矩阵对应的置换（置换矩阵的行/列交换对应元素的置换）：

• 矩阵 ( C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \ 1& 0& 0\0 & 0 &1\end{pmatrix} ) 对应对换 ( (1\ 2) )（交换第1、2个元素，固定第3个）
• 矩阵 ( A= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \ 0& 1& 0\1 & 0 &0\end{pmatrix} ) 对应对换 ( (1\ 3) )（交换第1、3个元素，固定第2个）

S₃群总共有6个元素：恒等元 ( e )、两个对换 ( (1\ 2),(1\ 3) )、第三个对换 ( (2\ 3) )，以及两个3-循环 ( (1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2) )。你已经有了 ( e )（( C^3 )，其实更准确的是 ( C^2 = e )，因为对换的阶是2）、( (1\ 2)=C )、( (1\ 3)=A )，剩下的四个元素可以通过C和A的乘积生成：

• 第三个对换 ( (2\ 3) )：对应矩阵 ( C \cdot A \cdot C )，计算结果为 ( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0& 0& 1\0 & 1 &0\end{pmatrix} )
• 3-循环 ( (1\ 2\ 3) )：对应矩阵 ( A \cdot C )，计算结果为 ( \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \ 1& 0& 0\0 & 1 &0\end{pmatrix} )
• 3-循环 ( (1\ 3\ 2) )：对应矩阵 ( C \cdot A )，计算结果为 ( \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \ 0& 0& 1\1 & 0 &0\end{pmatrix} )
• 恒等元 ( e )：除了 ( C^3 )，( C^2 ) 或 ( A^2 ) 也能直接得到单位矩阵

结论：完全可以用C和A生成S₃群的全部6个元素。

2. 张量积能否生成其他置换？ #

首先要明确：置换矩阵的张量积 ( C \otimes A ) 对应的是作用在6元集合（比如 ( {1,2,3} \times {1,2,3} )）上的置换，而不是原来S₃作用的3元集合。它的置换规则是：对每个元素 ( (i,j) )，映射为 ( (\sigma_C(i), \sigma_A(j)) )（其中 ( \sigma_C,\sigma_A ) 是C、A对应的置换）。

这个张量积矩阵属于对称群 ( S_6 )，而非原来的 ( S_3 )：

• 如果你的问题是“能否生成S₃之外的置换”，答案是肯定的，因为 ( S_6 ) 包含大量S₃没有的置换（比如6元集合上的对换、4-循环等）
• 如果你的问题是“能否生成S₃里的额外元素”，其实没必要——C和A本身已经能生成S₃的全部元素，而张量积是更高阶的置换，不属于原S₃群的范畴

内容的提问来源于stack exchange，提问作者TICHA