Munkres拓扑学问题：求证两种情形下[X,Y]仅含单个元素

我来帮你把这两个问题的完整证明整理清楚，重点补全你还没完成的(b)部分：

(a) 当Y=[0,1]时，任意空间X对应的[X,Y]仅含单个元素 #

你定义的直线同伦是完全正确的，这里再把细节理清楚：

对于任意两个连续映射 ( f,g: X \to [0,1] )，构造映射 ( G: X \times [0,1] \to [0,1] )，其中：

G(x,t) = (1-t)f(x) + t·g(x)

• 连续性：因为 ( f ) 和 ( g ) 都是连续映射，数乘与加法运算在欧氏空间中连续，所以 ( G ) 作为连续映射的组合，整体也是连续的。
• 同伦的边界条件：当 ( t=0 ) 时，( G(x,0)=f(x) )；当 ( t=1 ) 时，( G(x,1)=g(x) )，满足同伦的定义。
• 取值范围：由于 ( f(x), g(x) \in [0,1] )，而 ( (1-t) ) 和 ( t ) 都是非负且和为1的权重，所以它们的加权平均必然落在 ( [0,1] ) 内，保证 ( G ) 是从 ( X \times [0,1] ) 到 ( Y=[0,1] ) 的映射。

这就证明了任意两个 ( X \to [0,1] ) 的连续映射都是同伦的，因此 ( [X,Y] ) 中只有一个元素。

(b) 当X=[0,1]且Y道路连通时，[X,Y]仅含单个元素 #

这里的核心是利用Y的道路连通性，构造任意两个映射 ( f,g: [0,1] \to Y ) 之间的同伦，步骤如下：

1. 构造f到常值映射的同伦：
   定义 ( H_1: [0,1] \times [0,1] \to Y )，其中 ( H_1(t,s) = f(t(1-s)) )。

   • 当 ( s=0 ) 时，( H_1(t,0)=f(t) )；当 ( s=1 ) 时，( H_1(t,1)=f(0) )（即常值映射 ( c_{f(0)} )，把所有t映射到f(0)）。
   • 连续性：( t(1-s) ) 是连续的，复合连续映射f后依然连续。

2. 构造两个常值映射之间的同伦：
   因为Y是道路连通的，所以存在连续道路 ( \gamma: [0,1] \to Y )，使得 ( \gamma(0)=f(0) )，( \gamma(1)=g(0) )。定义 ( H_2: [0,1] \times [0,1] \to Y )，其中 ( H_2(t,s) = \gamma(s) )。

   • 这是一个把常值映射 ( c_{f(0)} ) 连接到常值映射 ( c_{g(0)} ) 的同伦，显然连续。

3. 构造g到常值映射的同伦：
   定义 ( H_3: [0,1] \times [0,1] \to Y )，其中 ( H_3(t,s) = g(t s) )。

   • 当 ( s=0 ) 时，( H_3(t,0)=g(0) )；当 ( s=1 ) 时，( H_3(t,1)=g(t) )。
   • 连续性同样由复合连续映射保证。

4. 拼接三个同伦得到f到g的同伦：
   利用粘接引理，把上述三个同伦拼接成一个整体的同伦 ( H: [0,1] \times [0,1] \to Y )：

H(t,s) = 
  H₁(t, 3s)，当 s ∈ [0, 1/3]
  H₂(t, 3s-1)，当 s ∈ [1/3, 2/3]
  H₃(t, 3s-2)，当 s ∈ [2/3, 1]

验证拼接处的连续性：

• 当 ( s=1/3 ) 时，( H(t,1/3)=H₁(t,1)=f(0)=\gamma(0)=H₂(t,0) )，取值一致；
• 当 ( s=2/3 ) 时，( H(t,2/3)=H₂(t,1)=g(0)=H₃(t,0) )，取值一致。

因此H是连续的，且满足 ( H(t,0)=f(t) )，( H(t,1)=g(t) )，即H是f到g的同伦。这就证明了任意两个 ( [0,1] \to Y ) 的连续映射都是同伦的，故 ( [X,Y] ) 仅含单个元素。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jave