如何证明存在c₁,c₂>0，使得F(t)≥c₁|t|^θ -c₂？

已知条件 #

给定$\theta>0$，函数$F(t)=\int_0^t f(s),\mathrm{d}s$满足：
$$0\leq \theta F(t)<t f(t), \quad \forall t>0$$

待证结论 #

需要证明：存在$c_1,c_2>0$，使得
$$F(t)\geq c_1 |t|^{\theta}-c_2$$

你的推导疑问 #

你通过条件推导出：
$$F(t) > \frac{F(t_0)}{t_0^\theta} t^\theta, \quad t>t_0>0$$
并认为这个式子大于0，所以结论对任意$c_2>0$都成立。这个结论不正确，而且我们可以从条件中直接求出合适的$c_2$，下面具体说明：

为什么你的结论不对？ #

你只考虑了$t>t_0$的情况，但当$t\in(0,t_0]$时，这个递增关系就不适用了。比如当$t$趋近于0时，$\frac{F(t_0)}{t_0^\theta}t\theta$会趋近于0，但我们需要保证$F(t)\geq c_1 t^\theta -c_2$对**所有$t>0$**成立，这时候$c_2$不能随便取，得覆盖小$t$区间里的下界缺口。

怎么从条件里求$c_1$和$c_2$？ #

先对已知条件变形：因为$f(t)=F'(t)$（由积分定义，默认$F$可导），所以$\theta F(t) < t F'(t)$，整理得：
$$t F'(t) - \theta F(t) > 0$$
两边除以$t^{{\theta+1}$，可以发现左边是$\frac{d}{dt}\left(\frac{F(t)}{t}\theta}\right)$的导数形式，即：
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{F(t)}{t^\theta}\right) > 0$$
这说明函数$g(t)=\frac{F(t)}{t^\theta}$在$t>0$时是严格递增的。

1. 取任意固定的$t_0>0$，那么对所有$t>t_0$，有$g(t)>g(t_0)$，即：
   $$F(t) > \frac{F(t_0)}{t_0^\theta} t^\theta$$
   这里令$c_1=\frac{F(t_0)}{t_0^{\theta}$，显然$c_1>0$（因为$F(t_0)=\int_0}{t_0}f(s)ds\geq0$，且若$F(t_0)=0$，则$\theta F(t_0)=0<t_0 f(t_0)$会推出$f(t_0)>0$，矛盾，所以$F(t_0)>0$）。

2. 对于$t\in(0,t_0]$，注意到$F(t)\geq0$（因为$\theta F(t)\geq0$且$\theta>0$），我们需要让$c_1 t^\theta -c_2\leq0$对所有$t\in(0,t_0]$成立，就能保证$F(t)\geq0\geq c_1 t^\theta -c_2$。
   而$c_1 t^\theta$在$t\in(0,t_0]$的最大值是$c_1 t_0^\theta=F(t_0)$，所以取$c_2=F(t_0)$，那么$c_1 t^\theta -c_2\leq F(t_0)-F(t_0)=0\leq F(t)$，完全满足。

3. 结合两种情况：

   • 当$t>t_0$时，$F(t)>c_1 t^\theta\geq c_1 t^\theta -c_2$（因为$c_2>0$）；
   • 当$0<t\leq t_0$时，$F(t)\geq0\geq c_1 t^\theta -c_2$。

   这样就找到了符合要求的$c_1=\frac{F(t_0)}{t_0^\theta}$和$c_2=F(t_0)$，都是正数，而且完全可以从已知条件中通过选取任意$t_0>0$得到。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Vrouvrou