如何判断点(a,b)是否在三点(x₁,y₁),(x₂,y₂),(x₃,y₃)构成的三角形内及绘制其区域？

Alright, let's break this down into two clear, practical parts: first, how to check if a point (a, b) lies inside the triangle formed by (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃); second, how to define the equations that describe the triangle's region for plotting.

一、判断点是否在三角形内部 #

Two reliable, widely used methods exist here—one is intuitive and fast, the other is great for deeper geometric calculations.

方法1：叉乘法（Cross Product Method） #

This approach hinges on checking whether the point sits on the same "side" of all three triangle edges (relative to the triangle's interior).

1. 计算每条边的叉积
   For each edge, compute the cross product between the edge vector and the vector from the edge's start point to (a, b):

   • 边 (x₁,y₁) → (x₂,y₂):

     cross_AB = (x₂ - x₁) * (b - y₁) - (y₂ - y₁) * (a - x₁)
     

   • 边 (x₂,y₂) → (x₃,y₃):

     cross_BC = (x₃ - x₂) * (b - y₂) - (y₃ - y₂) * (a - x₂)
     

   • 边 (x₃,y₃) → (x₁,y₁):

     cross_CA = (x₁ - x₃) * (b - y₃) - (y₁ - y₃) * (a - x₃)
     

2. 分析叉积的符号

   • 如果三个叉积全为正或者全为负，说明点(a, b)严格在三角形内部（符号取决于三角形顶点是顺时针还是逆时针排列）。
   • 如果任意一个叉积为0，说明点恰好落在对应的边上；如果两个叉积为0，则点是三角形的顶点。

方法2：重心坐标法（Barycentric Coordinate Method） #

This method expresses the point using weights relative to the triangle's vertices. A point inside the triangle will have all positive weights that sum to 1.

1. 计算面积

   • 先计算原三角形的面积：

     area_triangle = 0.5 * abs( (x₂ - x₁)*(y₃ - y₁) - (y₂ - y₁)*(x₃ - x₁) )
     

   • 再计算点(a, b)与三角形每两个顶点构成的子三角形面积：

     area_PBC = 0.5 * abs( (x₂ - a)*(y₃ - b) - (y₂ - b)*(x₃ - a) )
     area_PAC = 0.5 * abs( (x₃ - a)*(y₁ - b) - (y₃ - b)*(x₁ - a) )
     area_PAB = 0.5 * abs( (x₁ - a)*(y₂ - b) - (y₁ - b)*(x₂ - a) )
     

2. 计算重心坐标
   权重(u, v, w)是子三角形面积与原三角形面积的比值：

   u = area_PBC / area_triangle
   v = area_PAC / area_triangle
   w = area_PAB / area_triangle
   

3. 判断坐标范围

   • 如果u > 0、v > 0且w > 0，点严格在三角形内部。
   • 如果任意一个权重为0，点在边上；如果两个权重为0，点是顶点。

二、绘制三角形区域的方程 #

To plot the triangle's region, you'll need a system of linear inequalities that defines all points inside (and on the boundary of) the triangle.

1. 求出每条边的直线方程
   将每条边的两点式转化为标准的Ax + By + C = 0形式：

   • 边 (x₁,y₁) → (x₂,y₂):

     (y₂ - y₁)x - (x₂ - x₁)y + (x₂*y₁ - x₁*y₂) = 0
     

     记为A₁x + B₁y + C₁ = 0，其中：
     A₁ = y₂ - y₁，B₁ = x₁ - x₂，C₁ = x₂*y₁ - x₁*y₂
   • 对边(x₂,y₂) → (x₃,y₃)和(x₃,y₃) → (x₁,y₁)重复此步骤，得到A₂x + B₂y + C₂ = 0和A₃x + B₃y + C₃ = 0。

2. 确定每条边的不等式方向
   要找到每条直线哪一侧是三角形内部：

   • 取一个已知在三角形内部的点（比如重心：((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3)）。
   • 将这个点代入每条直线方程的左边（比如A₁*centroid_x + B₁*centroid_y + C₁）。
   • 结果的符号决定了不等式方向：如果结果为正，内部区域满足A₁x + B₁y + C₁ ≥ 0；如果为负，则满足A₁x + B₁y + C₁ ≤ 0。

3. 组合不等式
   三角形区域是同时满足三个不等式的所有点(x, y)的集合，例如：

   A₁x + B₁y + C₁ ≥ 0
   A₂x + B₂y + C₂ ≥ 0
   A₃x + B₃y + C₃ ≥ 0
   

   • 如果要包含三角形边界，用≥/≤；如果只需要严格内部，用>/<。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者MazeOfEncryption