$\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$是什么？下述等价类推导是否正确？

嘿，咱们先把这个问题拆解开来说清楚哈～

首先，写法$\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$其实有点歧义——商群的核心定义是群模掉它的一个子群，所以这里的$\mathbb{Z}$必须明确是$\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$里的哪个子群，不同的子群选择会得到完全不同的商群。

你的推导里的问题 #

先看你给出的推导过程，这个结论是不正确的，问题出在这几个关键点：

• 商群的等价关系理解偏差：商群$G/H$的等价类是${g+H \mid g\in G}$，也就是每个等价类是某个元素$g$加上子群$H$的所有元素。如果你要模掉的子群是$c_1={(i,0):i\in\mathbb{Z}}$（也就是把$\mathbb{Z}$嵌入到直和的第一个分量），那每个等价类应该是${(a+i, b) \mid i\in\mathbb{Z}}$，等价类完全由第二个分量$b$决定，对应的商群其实同构于$\mathbb{Z}$，是无限群，根本不是只有两个元素的$\mathbb{Z}_2$。
• 混淆了抽象群与嵌入子群：你说“任意$c,c'\in c_1$有$c-c'\in\mathbb{Z}$”，这里的$\mathbb{Z}$如果是抽象群没问题，但商群要求的是元素差属于具体的子群$H$，而非抽象的$\mathbb{Z}$，这个表述模糊了子群的定义边界。
• 等价类集合的结论错误：比如元素$(1,1)$，它的等价类既不是$[c_1]$也不是$[c_2]$——因为$(1,1)-(0,0)=(1,1)$既不属于$c_1$也不属于$c_2$，所以它会构成一个全新的等价类，显然商群的元素远不止两个。

那什么时候商群会是$\mathbb{Z}_2$？ #

如果想要$(\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z})/H\cong\mathbb{Z}_2$，子群$H$必须是$\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$的指数为2的子群，比如：

• $H={(i,j) \mid i+j \text{ 是偶数}}$：这个子群把直和分成两类，一类是所有分量和为偶数的元素，另一类是和为奇数的元素，商群恰好同构于$\mathbb{Z}_2$。
• 或者$H=2\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$：也就是第一个分量都是偶数的元素集合，商群的等价类为$(0,j)+H$和$(1,j)+H$，同样同构于$\mathbb{Z}_2$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者physshyp