马尔可夫链矩阵的转置是否存在特征值1？含行和约束场景探讨

嘿，让我来一步步给你拆解这两个问题，核心结论先放前面：两个问题的答案都是肯定的，下面给你理清楚背后的逻辑：

问题2：行和为1的马尔可夫矩阵P，其转置Q（列和为1）是否以1为特征值？ #

这是更具体的场景，我们先从这里入手：

• 首先，对于行和为1的矩阵P，有一个天然的右特征向量：全1向量（记为$\mathbf{1}$，所有元素都是1）。因为P的每一行元素之和是1，所以$P\mathbf{1}$的每个元素都是对应行的和，也就是1，所以$P\mathbf{1} = \mathbf{1}$——这直接说明1是P的一个特征值。
• 敲黑板：矩阵和它的转置拥有完全相同的特征值！原因很简单，特征多项式是一样的：$\det(P - \lambda I) = \det((P - \lambda I)^T) = \det(P^T - \lambda I)$。特征多项式相同，根（也就是特征值）自然完全一致。
• 所以Q作为P的转置，必然也把1作为特征值，不管它是列和为1还是其他结构，特征值和原矩阵是一一对应的。

问题1：任意马尔可夫链矩阵的转置是否存在特征值1？ #

这里先明确标准定义：通常说的马尔可夫链矩阵就是行和为1的非负随机转移矩阵（每一行对应某个状态转移到其他状态的概率）。

• 按照上面的逻辑，这类矩阵本身就有特征值1（全1向量是右特征向量），而转置的特征值和原矩阵完全相同，所以它的转置必然存在特征值1。
• 哪怕有人把“马尔可夫链矩阵”宽泛理解为列和为1的矩阵（其实这更像是观测矩阵而非转移矩阵），那它本身就是某个转移矩阵的转置，同样也会有特征值1——因为原转移矩阵有1这个特征值，转置后保留。

总结一下：只要是符合马尔可夫链相关定义的矩阵（不管是行和为1的转移矩阵，还是它的转置列和为1的矩阵），转置后都一定有特征值1。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Juan